Sejam A e B matrizes antissimétricas n \times n e \alpha \in \mathbb{R}. Mostre que \alpha A e A+B também são matrizes antissimétricas.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes antissimétricas de ordem n\times n.
  • \alpha\in\mathbb{R} (um escalar real).
O que é pedido:
  • Mostrar que \alpha A é antissimétrica.
  • Mostrar que A+B é antissimétrica.
Vou listar claramente o que significa “matriz antissimétrica” (informação que vou usar nas provas):
  • Uma matriz quadrada M é antissimétrica se ela satisfaz \,M^{T}=-M\,, onde M^{T} é a transposta de M.
  • Em termos de entradas: se M=(m_{ij}), então ser antissimétrica é equivalente a m_{ji}=-m_{ij} para todo i,j.

Passo 2

Relembrando propriedades básicas da transposta (essas propriedades são frequentemente usadas em provas e exercícios; mostro por que valem):
  • Para uma matriz X e um escalar \beta vale \,(\beta X)^{T}=\beta X^{T}\,.
    Prova rápida (com índices): se X=(x_{ij}) então (\beta X)_{ij}=\beta x_{ij}. Pela definição da transposta, (\beta X)^{T}_{ij}=(\beta X)_{ji}=\beta x_{ji}=\beta X^{T}_{ij}. Como isso vale para todos os índices, (\beta X)^{T}=\beta X^{T}.
  • Para matrizes X e Y da mesma ordem vale (X+Y)^{T}=X^{T}+Y^{T}.
    Prova rápida (com índices): (X+Y)_{ij}=x_{ij}+y_{ij}. Assim (X+Y)^{T}_{ij}=(X+Y)_{ji}=x_{ji}+y_{ji}=X^{T}_{ij}+Y^{T}_{ij}. Logo (X+Y)^{T}=X^{T}+Y^{T}.
Essas duas propriedades são elementares e muito úteis: transposta “distribui” sobre soma e fator constante sai da transposta.

Passo 3

Mostrar que \alpha A é antissimétrica usando a propriedade da transposta:
  • Começo calculando a transposta de \alpha A:
(\alpha A)^{T}=\alpha A^{T}.
  • Como A é antissimétrica, temos A^{T}=-A. Substituindo:
(\alpha A)^{T}=\alpha(-A)=-\alpha A.
  • Isso mostra exatamente que (\alpha A)^{T}=-(\alpha A), ou seja, por definição \alpha A é antissimétrica.
Comentário didático: foi usado que o escalar \alpha pode sair da transposta e que a propriedade A^{T}=-A é a definição de antissimetria. Na prova, escrever essa sequência de igualdades já resolve o item.

Passo 4

Mostro também, por completude e para treinar cálculo com entradas, a demonstração entrada a entrada (útil se o examinador pedir argumentação por índices):
  • Seja A=(a_{ij}). Como A é antissimétrica, a_{ji}=-a_{ij} para todo i,j.
  • A matriz \alpha A tem entradas (\alpha A)_{ij}=\alpha a_{ij}. Então
(\alpha A)_{ji}=\alpha a_{ji}=\alpha(-a_{ij})=-(\alpha a_{ij})=-(\alpha A)_{ij}.
  • Assim (\alpha A)_{ji}=-(\alpha A)_{ij} para todo i,j, logo \alpha A é antissimétrica.

Passo 5

Mostrar que A+B é antissimétrica usando a propriedade da transposta:
  • Calculo a transposta de A+B:
(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}.
  • Como A e B são antissimétricas, A^{T}=-A e B^{T}=-B. Substituindo:
(A+B)^{T}=(-A)+(-B)=-(A+B).
  • Portanto (A+B)^{T}=-(A+B), ou seja, A+B é antissimétrica.

Passo 6

Também faço a verificação por entradas (prática para provas que pedem argumento índice a índice):
  • Seja A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}). Como são antissimétricas, a_{ji}=-a_{ij} e b_{ji}=-b_{ij} para todo i,j.
  • A soma tem entradas (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. Então
(A+B)_{ji}=a_{ji}+b_{ji}=(-a_{ij})+(-b_{ij})=-(a_{ij}+b_{ij})=-(A+B)_{ij}.
  • Logo (A+B)_{ji}=-(A+B)_{ij} para todo i,j, e A+B é antissimétrica.

Passo 7

Resumo / dica para a prova:
  • Sempre que precisar mostrar que um conjunto de matrizes é fechado por soma ou multiplicação por escalar, usar propriedades do transposto é o caminho curto: (\alpha A)^{T}=\alpha A^{T} e (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}. Depois usar A^{T}=-A (e o mesmo para B).
  • Se preferir ou se o enunciado pedir, faça o mesmo raciocínio entrada a entrada mostrando que a relação m_{ji}=-m_{ij} é preservada.

Resposta

\alpha A é antissimétrica.
A+B é antissimétrica.

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