Sejam
e
matrizes antissimétricas
e
. Mostre que
e
também são matrizes antissimétricas.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
e são matrizes antissimétricas de ordem . -
(um escalar real).
O que é pedido:
- Mostrar que
é antissimétrica. - Mostrar que
é antissimétrica.
Vou listar claramente o que significa “matriz antissimétrica” (informação que vou usar nas provas):
- Uma matriz quadrada
é antissimétrica se ela satisfaz , onde é a transposta de . - Em termos de entradas: se
, então ser antissimétrica é equivalente a para todo .
Passo 2
Relembrando propriedades básicas da transposta (essas propriedades são frequentemente usadas em provas e exercícios; mostro por que valem):
- Para uma matriz
e um escalar vale .
Prova rápida (com índices): seentão . Pela definição da transposta, . Como isso vale para todos os índices, . - Para matrizes
e da mesma ordem vale .
Prova rápida (com índices):. Assim . Logo .
Essas duas propriedades são elementares e muito úteis: transposta “distribui” sobre soma e fator constante sai da transposta.
Passo 3
Mostrar que
é antissimétrica usando a propriedade da transposta:
- Começo calculando a transposta de
:
- Como
é antissimétrica, temos . Substituindo:
- Isso mostra exatamente que
, ou seja, por definição é antissimétrica.
Comentário didático: foi usado que o escalar
pode sair da transposta e que a propriedade
é a definição de antissimetria. Na prova, escrever essa sequência de igualdades já resolve o item.
Passo 4
Mostro também, por completude e para treinar cálculo com entradas, a demonstração entrada a entrada (útil se o examinador pedir argumentação por índices):
- Seja
. Como é antissimétrica, para todo . - A matriz
tem entradas . Então
- Assim
para todo , logo é antissimétrica.
Passo 5
Mostrar que
é antissimétrica usando a propriedade da transposta:
- Calculo a transposta de
:
- Como
e são antissimétricas, e . Substituindo:
- Portanto
, ou seja, é antissimétrica.
Passo 6
Também faço a verificação por entradas (prática para provas que pedem argumento índice a índice):
- Seja
e . Como são antissimétricas, e para todo . - A soma tem entradas
. Então
- Logo
para todo , e é antissimétrica.
Passo 7
Resumo / dica para a prova:
- Sempre que precisar mostrar que um conjunto de matrizes é fechado por soma ou multiplicação por escalar, usar propriedades do transposto é o caminho curto:
e . Depois usar (e o mesmo para ). - Se preferir ou se o enunciado pedir, faça o mesmo raciocínio entrada a entrada mostrando que a relação
é preservada.