Considere as seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 5 & 2 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 3 & 7 \\\\ -2 & 1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 5 & -3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right] \\\ D=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 7 & 2 \\\\ 9 & -2 & -2 \\\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 3 & -2 \\\\ 9 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right]
Se for possível, calcule:
A \cdot B-B \cdot A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferença entre os produtos de duas matrizes 2\times2, ou seja
A\cdot B - B\cdot A.
Aqui o conteúdo é multiplicação de matrizes e a demonstração de que, em geral, A\,B\neq B\,A. Para resolver precisamos calcular separadamente A\,B e B\,A usando o produto linha–coluna e depois subtrair termo a termo.

Passo 2

Vamos calcular A\,B. Cada entrada (i,j) de A\,B é o produto escalar da linha i de A pela coluna j de B:
A = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[6pt]5 & 2\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}3 & 7 \\[3pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
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AB = \begin{pmatrix} (-1)\cdot3 + 0\cdot(-2) & (-1)\cdot7 + 0\cdot1 \\[6pt] 5\cdot3 + 2\cdot(-2) & 5\cdot7 + 2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\[3pt] 15 - 4 & 35 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\[3pt] 11 & 37 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos B\,A do mesmo jeito, produto linha–coluna:
BA = \begin{pmatrix} 3\cdot(-1) + 7\cdot5 & 3\cdot0 + 7\cdot2 \\[6pt] (-2)\cdot(-1) + 1\cdot5 & (-2)\cdot0 + 1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 35 & 0 + 14 \\[3pt] 2 + 5 & 0 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 32 & 14 \\[3pt] 7 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora fazemos a subtração termo a termo:
A\,B - B\,A = \begin{pmatrix}-3 & -7 \\[3pt]11 & 37\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}32 & 14 \\[3pt]7 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 - 32 & -7 - 14 \\[3pt] 11 - 7 & 37 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -35 & -21 \\[3pt] 4 & 35 \end{pmatrix}.]

Resposta

A\,B - B\,A = \begin{pmatrix}-35 & -21 \\[3pt]4 & 35\end{pmatrix}.]

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