Seja V=P_{n} o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n. Se g(x) é um polinômio não nulo fixado em V, quais das seguintes transformações são lineares? Justifique.
T(p(x))=p^{2}(x).

Passo 1

Temos o espaço vetorial V = P_{n} (polinômios de grau \le n) e a transformação
T\colon V \to V,\quad T\bigl(p(x)\bigr)=\bigl(p(x)\bigr)^{2}.
Para ser linear, T deve satisfazer, para todo p,q\in V e todo escalar \alpha:
  1. T(p+q)=T(p)+T(q) (aditividade)
  2. T(\alpha p)=\alpha\,T(p) (homogeneidade)

Passo 2

Vamos testar a aditividade escolhendo, por exemplo,
p(x)=x,\quad q(x)=1.
Então
T(p+q)=T(x+1)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,
enquanto
T(p)+T(q)=x^{2}+1.
Como x^{2}+2x+1\neq x^{2}+1 em geral, falha a aditividade.

Passo 3

Agora testamos a homogeneidade com um escalar \alpha:
T\bigl(\alpha p(x)\bigr)=\bigl(\alpha p(x)\bigr)^{2}=\alpha^{2}\,p(x)^{2},
porém
\alpha\,T\bigl(p(x)\bigr)=\alpha\,p(x)^{2}.
Como \alpha^{2}p(x)^{2}\neq\alpha\,p(x)^{2} para escalar \alpha qualquer (salvo \alpha=0 ou \alpha=1), falha a homogeneidade.

Resposta

A transformação T(p(x))=p(x)^{2} não é linear.

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