Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
. Se
é um polinômio não nulo fixado em
, quais das seguintes transformações são lineares? Justifique.
.
Passo 1
Temos o espaço vetorial
(polinômios de grau
) e a transformação
Para ser linear,
deve satisfazer, para todo
e todo escalar
:
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 2
Vamos testar a aditividade escolhendo, por exemplo,
Então
enquanto
Como
em geral, falha a aditividade.
Passo 3
Agora testamos a homogeneidade com um escalar
:
porém
Como
para escalar
qualquer (salvo
ou
), falha a homogeneidade.
Resposta
A transformação
não é linear.