Determinar o valor de x tal que A B=I_{3}, onde
A=\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 7 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{ccc} -x & -14 x & 7 x \\\\ 0 & 1 & 0 \\\ x & 4 x & -2 x \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 7\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix} -x & -14x & 7x\\\\ 0 & 1 & 0\\\ x & 4x & -2x \end{pmatrix}
e pede o valor de x tal que
AB = I_{3}.
Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e o fato de que duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes forem iguais.

Passo 2

Calculamos o produto AB linha a linha e coluna a coluna. O resultado é
AB = \begin{pmatrix} 5x & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 - 10x & 5x \end{pmatrix}.

Passo 3

Para que AB = I_{3}, devemos ter
AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Isto impõe as equações
5x = 1 \quad\text{e}\quad 2 - 10x = 0.
Cada uma delas leva a
x = \tfrac{1}{5}.

Passo 4

Verificamos que as demais entradas coincidem automaticamente com as de I_{3}. Logo, a única solução é
x = \tfrac{1}{5}.

Resposta

x = \tfrac{1}{5}.

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