Marque verdadeiro ou falso nas afirmações abaixo. Justifique a sua resposta.
( ) Suponha que o conjunto \mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{4}\right\} seja uma base para o espaço vetorial V. Então o conjunto \mathcal{C}=\left\{\vec{v}_{1}, 3 \vec{v}_{2},-7 \vec{v}_{3}, 2 \vec{v}_{4}\right\} gera V.
( ) Suponha que o conjunto \mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} seja uma base para o espaço vetorial V. Então o conjunto \mathcal{C}=\left\{\vec{v}_{1}, 3 \vec{v}_{2},-7 \vec{v}_{2}\right\} gera V.
( ) Suponha que o conjunto \mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} seja uma base para o espaço vetorial V. Então o conjunto \mathcal{D}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}\right\} é LD.
( ) Suponha que o conjunto \mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} seja uma base para o espaço vetorial V. Então o conjunto \mathcal{D}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}\right\} não é uma base para V .

Passo 1

O enunciado dá várias hipóteses do tipo “suponha que o conjunto \mathcal{B} seja uma base de V” e pede que eu marque verdadeiro/falso para quatro afirmações. Vou listar explicitamente o que é dado e cada afirmação a ser julgada:
Dado: em cada caso \mathcal{B} é uma base de V. Em particular, quando \mathcal{B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} isso implica que esses três vetores são linearmente independentes e geram V (logo \dim(V)=3 nesse caso). Quando \mathcal{B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3},\vec{v}_{4}\} então \dim(V)=4.
As afirmações a julgar são:
  1. \mathcal{B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3},\vec{v}_{4}\} é base de V. Então \mathcal{C}=\{\vec{v}_{1},3\vec{v}_{2},-7\vec{v}_{3},2\vec{v}_{4}\} gera V. Verdadeiro ou falso?
  2. \mathcal{B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é base de V. Então \mathcal{C}=\{\vec{v}_{1},3\vec{v}_{2},-7\vec{v}_{2}\} gera V. Verdadeiro ou falso?
  3. \mathcal{B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é base de V. Então \mathcal{D}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}\} é linearmente dependente. Verdadeiro ou falso?
  4. \mathcal{B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é base de V. Então \mathcal{D}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3},\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}\} não é uma base para V. Verdadeiro ou falso?
A partir do Passo 2 começo a resolver e a justificar cada item passo a passo, explicando os conceitos necessários.

Passo 2

Conceitos essenciais (rápida “aula” para usar nas justificativas):
  • Definição de base: Um conjunto \mathcal{B} é base de V se (i) gera V (ou seja, todo \vec{x}\in V pode ser escrito como combinação linear de vetores de \mathcal{B}) e (ii) é linearmente independente (ou seja, a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial).
  • Geração (span): Dizer que um conjunto S gera V significa
\operatorname{span}(S)=\{\,a_1\vec{s}_1+\cdots+a_k\vec{s}_k \mid a_i\in\mathbb{K}\,\} = V.
Se \mathcal{B} é base, então qualquer vetor \vec{x}\in V tem representação única em coordenadas relativas a \mathcal{B}.
  • Dependência linear: vetores \vec{u}_1,\dots,\vec{u}_m são linearmente dependentes se existem escalares nem todos zero tais que
c_1\vec{u}_1+\cdots+c_m\vec{u}_m=\vec{0}.
Uma forma prática: se algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros, o conjunto é linearmente dependente.
  • Fato útil sobre múltiplos escalares não nulos: se \{\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_n\} é uma base e c_1,\dots,c_n são escalares não nulos, então \{c_1\vec{w}_1,\dots,c_n\vec{w}_n\} também é base (mesma geração e independência). Vou usar isso no item 1.

Passo 3

Análise da afirmação 1:
\mathcal{B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3},\vec{v}_{4}\} é base de V (logo \dim(V)=4). \mathcal{C}=\{\vec{v}_{1},3\vec{v}_{2},-7\vec{v}_{3},2\vec{v}_{4}\}.
Explicação e prova concreta: quero mostrar que \mathcal{C} gera V. Como \mathcal{B} gera V, todo \vec{x}\in V pode ser escrito
\vec{x}=a_1\vec{v}_1+a_2\vec{v}_2+a_3\vec{v}_3+a_4\vec{v}_4,
com escalares a_i. Posso reescrever os termos envolvendo \vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v}_4 em função dos vetores de \mathcal{C} dividindo pelos escalares não nulos:
a_2\vec{v}_2 = \left(\frac{a_2}{3}\right)(3\vec{v}_2),\qquad a_3\vec{v}_3 = \left(\frac{-a_3}{7}\right)(-7\vec{v}_3),\qquad a_4\vec{v}_4 = \left(\frac{a_4}{2}\right)(2\vec{v}_4).
Portanto \vec{x} é combinação linear dos vetores de \mathcal{C}. Assim \operatorname{span}(\mathcal{C})=V. Além disso, pela observação teórica do Passo 2, multiplicar cada vetor de uma base por escalar não nulo preserva independência linear; logo \mathcal{C} é também uma base. Conclusão: a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmação 2:
\mathcal{B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é base de V (logo \dim(V)=3). \mathcal{C}=\{\vec{v}_{1},3\vec{v}_{2},-7\vec{v}_{2}\}.
Observação intuitiva: \mathcal{C} contém dois vetores que são múltiplos um do outro ( 3\vec{v}_{2} e -7\vec{v}_{2}), portanto esses dois são colineares e o conjunto não pode ter três vetores linearmente independentes. Vou mostrar dependência explícita.
Exibindo combinação linear não trivial que dá zero: tome coeficientes 0 para \vec{v}_1, 7 para 3\vec{v}_2 e 3 para -7\vec{v}_2. Então
0\cdot \vec{v}_1 + 7\cdot(3\vec{v}_2) + 3\cdot(-7\vec{v}_2) = (21-21)\vec{v}_2=\vec{0}.
Os coeficientes não são todos zero, logo \mathcal{C} é linearmente dependente. Como \dim(V)=3, um conjunto de vetores que contém apenas no máximo duas direções independentes não pode gerar todo V. Assim \mathcal{C} não gera V. Conclusão: a afirmação 2 é falsa.

Passo 5

Análise da afirmação 3:
\mathcal{B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é base de V. \mathcal{D}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}\}.
Verificação de dependência: note que \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2} é explicitamente combinação linear de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. Logo já sabemos por definição que o conjunto é linearmente dependente (ter um vetor que é combinação dos outros implica dependência). Posso escrever uma combinação não trivial que dá zero:
(-1)\vec{v}_{1} + (-1)\vec{v}_{2} + 1\cdot(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}) = \vec{0}.
Como os coeficientes -1,-1,1 não são todos zero, \mathcal{D} é linearmente dependente. Conclusão: a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 6

Análise da afirmação 4:
\mathcal{B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é base de V (logo \dim(V)=3). \mathcal{D}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3},\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}\}. A afirmação diz que \mathcal{D} não é uma base para V. Vou verificar se \mathcal{D} é base ou não.
Teste de independência: suponha que existam escalares a,b,c tais que
a\vec{v}_1 + b\vec{v}_3 + c(\vec{v}_1+\vec{v}_2)=\vec{0}.
Reescrevendo,
(a+c)\vec{v}_1 + c\vec{v}_2 + b\vec{v}_3 = \vec{0}.
Como \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é base, é linearmente independente; portanto os coeficientes das combinações devem ser zero, isto é
a+c=0,\qquad c=0,\qquad b=0.
Da segunda igualdade c=0, então pela primeira a=0 e pela terceira b=0. Assim a única solução é a=b=c=0, o que mostra que \mathcal{D} é linearmente independente.
Agora \mathcal{D} tem exatamente três vetores e \dim(V)=3. Um conjunto de \dim(V) vetores que é linearmente independente gera V, logo é uma base. Portanto \mathcal{D} é uma base de V. A afirmação “ \mathcal{D} não é uma base” é falsa.
Comentário pedagógico rápido: trocar um vetor de uma base por ele somado a combinações dos outros (desde que a troca seja “invertível”) geralmente produz outra base — aqui substituir \vec{v}_2 por \vec{v}_1+\vec{v}_2 é um exemplo desse tipo de operação que preserva a base.

Resposta

Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Falso

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