Marque verdadeiro ou falso nas afirmações abaixo. Justifique a sua resposta.
( ) Suponha que o conjunto
seja uma base para o espaço vetorial V. Então o conjunto
gera V.
( ) Suponha que o conjunto
seja uma base para o espaço vetorial
. Então o conjunto
gera V.
( ) Suponha que o conjunto
seja uma base para o espaço vetorial V. Então o conjunto
é LD.
( ) Suponha que o conjunto
seja uma base para o espaço vetorial V. Então o conjunto
não é uma base para V .
( ) Suponha que o conjunto
( ) Suponha que o conjunto
( ) Suponha que o conjunto
( ) Suponha que o conjunto
Passo 1
O enunciado dá várias hipóteses do tipo “suponha que o conjunto
seja uma base de
” e pede que eu marque verdadeiro/falso para quatro afirmações. Vou listar explicitamente o que é dado e cada afirmação a ser julgada:
Dado: em cada caso
é uma base de
. Em particular, quando
isso implica que esses três vetores são linearmente independentes e geram
(logo
nesse caso). Quando
então
.
As afirmações a julgar são:
-
é base de . Então gera . Verdadeiro ou falso? -
é base de . Então gera . Verdadeiro ou falso? -
é base de . Então é linearmente dependente. Verdadeiro ou falso? -
é base de . Então não é uma base para . Verdadeiro ou falso?
A partir do Passo 2 começo a resolver e a justificar cada item passo a passo, explicando os conceitos necessários.
Passo 2
Conceitos essenciais (rápida “aula” para usar nas justificativas):
-
Definição de base: Um conjunto
é base de se (i) gera (ou seja, todo pode ser escrito como combinação linear de vetores de ) e (ii) é linearmente independente (ou seja, a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial). -
Geração (span): Dizer que um conjunto
gera significa
Se
é base, então qualquer vetor
tem representação única em coordenadas relativas a
.
- Dependência linear: vetores
são linearmente dependentes se existem escalares nem todos zero tais que
Uma forma prática: se algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros, o conjunto é linearmente dependente.
- Fato útil sobre múltiplos escalares não nulos: se
é uma base e são escalares não nulos, então também é base (mesma geração e independência). Vou usar isso no item 1.
Passo 3
Análise da afirmação 1:
é base de
(logo
).
.
Explicação e prova concreta: quero mostrar que
gera
. Como
gera
, todo
pode ser escrito
com escalares
. Posso reescrever os termos envolvendo
em função dos vetores de
dividindo pelos escalares não nulos:
Portanto
é combinação linear dos vetores de
. Assim
. Além disso, pela observação teórica do Passo 2, multiplicar cada vetor de uma base por escalar não nulo preserva independência linear; logo
é também uma base. Conclusão: a afirmação 1 é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação 2:
é base de
(logo
).
.
Observação intuitiva:
contém dois vetores que são múltiplos um do outro (
e
), portanto esses dois são colineares e o conjunto não pode ter três vetores linearmente independentes. Vou mostrar dependência explícita.
Exibindo combinação linear não trivial que dá zero: tome coeficientes
para
,
para
e
para
. Então
Os coeficientes não são todos zero, logo
é linearmente dependente. Como
, um conjunto de vetores que contém apenas no máximo duas direções independentes não pode gerar todo
. Assim
não gera
. Conclusão: a afirmação 2 é falsa.
Passo 5
Análise da afirmação 3:
é base de
.
.
Verificação de dependência: note que
é explicitamente combinação linear de
e
. Logo já sabemos por definição que o conjunto é linearmente dependente (ter um vetor que é combinação dos outros implica dependência). Posso escrever uma combinação não trivial que dá zero:
Como os coeficientes
não são todos zero,
é linearmente dependente. Conclusão: a afirmação 3 é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmação 4:
é base de
(logo
).
. A afirmação diz que
não é uma base para
. Vou verificar se
é base ou não.
Teste de independência: suponha que existam escalares
tais que
Reescrevendo,
Como
é base, é linearmente independente; portanto os coeficientes das combinações devem ser zero, isto é
Da segunda igualdade
, então pela primeira
e pela terceira
. Assim a única solução é
, o que mostra que
é linearmente independente.
Agora
tem exatamente três vetores e
. Um conjunto de
vetores que é linearmente independente gera
, logo é uma base. Portanto
é uma base de
. A afirmação “
não é uma base” é falsa.
Comentário pedagógico rápido: trocar um vetor de uma base por ele somado a combinações dos outros (desde que a troca seja “invertível”) geralmente produz outra base — aqui substituir
por
é um exemplo desse tipo de operação que preserva a base.
Resposta
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Falso
Falso
Verdadeiro
Falso