Considere as seguintes matrizes em M3(R) :
A=[lll1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4] e B=[lll4 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1]. Determine matrizes X, Y in M3(R) de maneira que:
l 2 X-Y=A+B X+Y=A-B

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes diagonais
A=1&0&00&2&00&0&4, B=4&0&00&2&00&0&1
e pede que a gente encontre X,Yin M3(R) tais que
2X - Y = A + B, X + Y = A - B
O conteúdo aqui é solução de sistema linear em espaço de matrizes.

Passo 2

Para simplificar, vamos chamar
S = A + B, T = A - B
Assim o sistema vira
2X - Y = S, X + Y = T

Passo 3

Somando as duas equações temos
(2X - Y) + (X + Y) = S + T ;Longrightarrow; 3X = S + T ;Longrightarrow; X = S + T3
Subtraindo a primeira equação da segunda vezes 2, ou mais diretamente usando Y = T - X, obtemos
Y = T - X = T - S + T3 = 2T - S3

Passo 4

Voltando a S e T em termos de A,B:
S + T = (A+B)+(A-B)=2A, 2T - S = 2(A-B)-(A+B)=A-3B
Logo
X = 2A3, Y = A - 3B3

Passo 5

Basta agora multiplicar por cada valor diagonal:
X = 231&0&00&2&00&0&4 =tfrac23&0&00&tfrac43&00&0&tfrac83,
Y = 131&0&00&2&00&0&4 -4&0&00&2&00&0&1 =-tfrac113&0&00&-tfrac43&00&0&tfrac13

Resposta

X=tfrac23&0&00&tfrac43&00&0&tfrac83, Y=-tfrac113&0&00&-tfrac43&00&0&tfrac13

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