Determine o valor de m para que o sistema abaixo seja imcompatível:
c m x+-2 y-z=4 -4 x+2 m y+2 z=0 (m+1) x-3 y-z=6
Resposta: square

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em x,y,z com parâmetro m e pede o(s) valor(es) de m para que o sistema seja incompatível (sem solução). Para isso vamos usar a condição de incompatibilidade baseada no posto da matriz de coeficientes: o sistema é incompatível se a matriz de coeficientes for singular ( det=0) e o posto da matriz aumentada for maior que o posto da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A= m & -2 & -1 -4 & 2m & 2 m+1 & -3 & -1
e calculamos det(A) para identificar quando ela se anula.

Passo 3

Desenvolvendo det(A) pela primeira linha:
det(A) = ml(2mcdot(-1)-2cdot(-3)r) -(-2)l((-4)cdot(-1)-2,(m+1)r) +(-1)l((-4)cdot(-3)-2m,(m+1)r)
Calculando cada termo:
m(-2m+6)+2(4-2m)-l(12-2m(m+1)r) =-2m^2+6m+8-4m-12+2m^2+2m =4(m-2)

Passo 4

Para a matriz ser singular precisamos
det(A)=4(m-2)=0 Longrightarrow m=2
Só em m=2 o sistema pode ser não determinado ou incompatível.

Passo 5

Substituindo
As duas primeiras dão , o que implica , contradição. Portanto o sistema é incompatível em .

Resposta

2

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