Uma matriz quadrada A se diz simétrica se A^t=A e anti-simétrica se A^t=-A.
a) Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica. Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas.
b) O produto de duas matrizes simétricas de ordem n é uma matriz simétrica?

Passo 1

O enunciado define que uma matriz quadrada A é simétrica se
A^t=A
e anti-simétrica se
A^t=-A
Pede em (a) mostrar que o conjunto de simétricas (resp. anti-simétricas) é fechado sob soma, e em (b) investigar se o produto de duas simétricas é sempre simétrico. Vamos usar as propriedades usuais de transposição:
(A+B)^t=A^t+B^t,
(AB)^t=B^tA^t

Passo 2

Suponha A e B simétricas, ou seja A^t=A e B^t=B. Então
(A+B)^t=A^t+B^t=A+B,
logo A+B também satisfaz (A+B)^t=A+B, ou seja é simétrica.

Passo 3

Suponha A e B anti-simétricas, isto é A^t=-A e B^t=-B. Então
(A+B)^t=A^t+B^t=-A - B=-(A+B),
logo A+B também satisfaz (A+B)^t=-(A+B), ou seja é anti-simétrica.

Passo 4

Para o produto de duas simétricas A e B temos
(AB)^t=B^tA^t=BA
Assim AB será simétrica se e somente se
(AB)^t=ABLong<=ftrightarrow BA=AB,
isto é, somente quando A e B comutam. Em geral matrizes simétricas não comutam, então o produto delas não é garantido simétrico. Por exemplo,
A=0&11&0, B=1&00&2
são simétricas, mas
AB=0&21&0
não é igual a (AB)^t=0&12&0.

Resposta

a) A soma de simétricas é simétrica; a soma de anti-simétricas é anti-simétrica.
b) O produto de duas matrizes simétricas é simétrico se e somente se elas comutam ( AB=BA); em geral, não.

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