Uma matriz quadrada
se diz simétrica se
e anti-simétrica se
.
a) Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica. Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas.
b) O produto de duas matrizes simétricas de ordem
é uma matriz simétrica?
a) Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica. Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas.
b) O produto de duas matrizes simétricas de ordem
Passo 1
O enunciado define que uma matriz quadrada
é simétrica se
e anti-simétrica se
Pede em (a) mostrar que o conjunto de simétricas (resp. anti-simétricas) é fechado sob soma, e em (b) investigar se o produto de duas simétricas é sempre simétrico. Vamos usar as propriedades usuais de transposição:
Passo 2
Suponha
e
simétricas, ou seja
e
. Então
logo
também satisfaz
, ou seja é simétrica.
Passo 3
Suponha
e
anti-simétricas, isto é
e
. Então
logo
também satisfaz
, ou seja é anti-simétrica.
Passo 4
Para o produto de duas simétricas
e
temos
Assim
será simétrica se e somente se
isto é, somente quando
e
comutam. Em geral matrizes simétricas não comutam, então o produto delas não é garantido simétrico. Por exemplo,
são simétricas, mas
não é igual a
.
Resposta
a) A soma de simétricas é simétrica; a soma de anti-simétricas é anti-simétrica.
b) O produto de duas matrizes simétricas é simétrico se e somente se elas comutam ( ); em geral, não.
b) O produto de duas matrizes simétricas é simétrico se e somente se elas comutam (