Mostre que se é um isomorfismo de anéis, então é a função identidade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda aplicação
que é isomorfismo de anéis (com identidade) coincide com a função identidade.
Vamos usar as propriedades de homomorfismo de anel: preservação de soma, produto e unidade.
Passo 2
Como é homomorfismo de anéis com unidade, vale
para a unidade .
Para ver isso, note que em implica
ou seja, é idempotente em . Os únicos idempotentes em são e . Se , então para todo teríamos
o que contradiz a injetividade de . Logo .
Passo 3
Para inteiro, usemos a preservação de soma repetida:
Passo 4
Para n<0, escrevemos n=-m com m>0. Então
f(n)=f(-m)=-,f(m)=-,m=n
Isso usa que f(-m)= -,f(m) pois f preserva soma e inverso aditivo.
Resposta
Portanto, para todo ninZ temos f(n)=n, isto é, f é a função identidade.