Mostre que se f: Z longrightarrow Z é um isomorfismo de anéis, então f é a função identidade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda aplicação
fcolon ZtoZ
que é isomorfismo de anéis (com identidade) coincide com a função identidade.
Vamos usar as propriedades de homomorfismo de anel: preservação de soma, produto e unidade.

Passo 2

Como f é homomorfismo de anéis com unidade, vale
f(1),=,1
para a unidade 1inZ.
Para ver isso, note que 1cdot1=1 em Z implica
f(1),f(1);=;f(1cdot1);=;f(1),
ou seja, f(1) é idempotente em Z. Os únicos idempotentes em Z são 0 e 1. Se f(1)=0, então para todo n teríamos
f(n)=f(ncdot1)=n,f(1)=0,
o que contradiz a injetividade de f. Logo f(1)=1.

Passo 3

Para n>0 inteiro, usemos a preservação de soma repetida:
f(n)=f(underbrace1+1+cdots+1n vezes) =underbracef(1)+f(1)+cdots+f(1)n vezes =ncdot f(1) =ncdot1 =n

Passo 4

Para n<0, escrevemos n=-m com m>0. Então
f(n)=f(-m)=-,f(m)=-,m=n
Isso usa que f(-m)= -,f(m) pois f preserva soma e inverso aditivo.

Resposta

Portanto, para todo ninZ temos f(n)=n, isto é, f é a função identidade.

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