Considere as seguintes matrizes de ordem 2
A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 6 \\\\ 3 & -2 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{cc} 5 & -1 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right)
É correto afirmar que:
a) C é diagonalizável e B não é diagonalizável.
b) B é diagonalizável e C não é diagonalizável.
c) A é diagonalizável e B não é diagonalizável.
d) A e B são diagonalizáveis e C não é diagonalizável.
e) Nenhuma das matrizes é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado fornece três matrizes de ordem 2:
A=\begin{pmatrix}5 & 6 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}5 & -1 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}
e pede que escolhamos qual das alternativas a)–e) sobre diagonalizabilidade é correta.
Informações relevantes dadas:
\text{listas de alternativas:}
a) C é diagonalizável e B não é diagonalizável.
b) B é diagonalizável e C não é diagonalizável.
c) A é diagonalizável e B não é diagonalizável.
d) A e B são diagonalizáveis e C não é diagonalizável.
e) Nenhuma das matrizes é diagonalizável.
A missão agora é verificar, para cada matriz, se ela é diagonalizável (presumindo o campo dos escalares como \mathbb{R}, que é o usual em exercícios desse tipo) e então identificar a alternativa correta.]

Passo 2

Conceito e critério prático para matrizes 2\times2 (a explicação curta e útil para prova):
  • Para uma matriz 2\times2 real, uma forma prática de obter o polinômio característico é usar a relação
\chi(\lambda)=\lambda^{2}-(\operatorname{tr}M)\lambda+\det M,
onde \operatorname{tr}M é a soma dos elementos da diagonal e \det M é o determinante.
  • As raízes de \chi(\lambda) são os autovalores (eigenvalues) \lambda. Se a matriz tem dois autovalores reais distintos, então ela tem dois autovetores linearmente independentes e é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
  • Se o polinômio tem raízes complexas não reais (discriminante negativa), então não há autovalores reais, logo não é diagonalizável sobre \mathbb{R}. (Observação: poderia ser diagonalizável sobre \mathbb{C} se as raízes fossem distintas complexas.)
  • Se o polinômio tem uma raiz real dupla (multiplicidade algébrica 2), para decidir diagonalizabilidade preciso verificar a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio). Para 2\times2, se a multiplicidade geométrica for 1 (apenas um autovetor independente) então não é diagonalizável; se for 2 então é (mas isso acontece apenas se a matriz já for múltiplo da identidade nesse caso).
Vou aplicar esses passos a cada matriz passo a passo.

Passo 3

Analisando A.
Calcule a traça e o determinante:
\operatorname{tr}A=5+(-2)=3,\qquad \det A = 5\cdot(-2)-6\cdot3 = -10-18=-28.
Usando a fórmula do polinômio característico:
\chi_A(\lambda)=\lambda^{2}-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=\lambda^{2}-3\lambda-28.
Calcule o discriminante:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-28)=9+112=121.
Como \Delta=121=11^{2}>0, as raízes são reais e distintas. Encontre-as:
\lambda=\frac{3\pm\sqrt{121}}{2}=\frac{3\pm11}{2}.
Portanto
\lambda_{1}=\frac{3+11}{2}=7,\qquad \lambda_{2}=\frac{3-11}{2}=-4.
Conclusão para A: tem dois autovalores reais distintos \Rightarrow A é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
(Dica de prova: em prova isso basta — autovalores distintos em 2\times2 garantem diagonalizabilidade, não é preciso calcular autovetores a não ser que peçam.)

Passo 4

Analisando B.
Calcule traça e determinante:
\operatorname{tr}B = 1+(-1)=0,\qquad \det B = 1\cdot(-1)-(-1)\cdot2 = -1+2=1.
Polinômio característico:
\chi_B(\lambda)=\lambda^{2}-(\operatorname{tr}B)\lambda+\det B=\lambda^{2}+1.
As raízes são dadas por \lambda^{2}=-1, ou seja \lambda=\pm i, números puramente imaginários (não reais). O discriminante é \Delta=0^{2}-4\cdot1\cdot1=-4<0.
Conclusão para B: não tem autovalores reais, logo não é diagonalizável sobre \mathbb{R}. (Observação: sobre \mathbb{C} seria diagonalizável porque tem dois autovalores complexos distintos \pm i.)

Passo 5

Analisando C.
Calcule traça e determinante:
\operatorname{tr}C = 5+3=8,\qquad \det C = 5\cdot3-(-1)\cdot1 = 15+1=16.
Polinômio característico:
\chi_C(\lambda)=\lambda^{2}-8\lambda+16.
Note que
\lambda^{2}-8\lambda+16=(\lambda-4)^{2}.
Então há um autovalor real \lambda=4 com multiplicidade algébrica 2.
Agora preciso verificar a multiplicidade geométrica, isto é, a dimensão do espaço próprio associado a \lambda=4. Resolvo (C-4I)v=0:
C-4I = \begin{pmatrix}5-4 & -1 \\[4pt] 1 & 3-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
O sistema linear (C-4I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 dá as equações
1\cdot x -1\cdot y = 0,\qquad 1\cdot x -1\cdot y = 0,
que reduzem a uma única condição x=y. Assim o espaço próprio tem dimensão 1 (ex.: autovetores são escalares múltiplos de \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}).
Conclusão para C: multiplicidade geométrica =1 menor que a multiplicidade algébrica =2; portanto C não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.]

Passo 6

Resumo dos resultados que precisamos para escolher a alternativa:
A \text{ é diagonalizável (tem autovalores }7\text{ e }-4\text{ distintos)},\qquad B \text{ não é diagonalizável sobre } \mathbb{R} (\text{autovalores } \pm i),éáãéá
C \text{ não é diagonalizável (autovalor }4\text{ de mult. }2\text{ com geometria }1)}.
Agora comparo com as alternativas:
  • a) diz C diagonalizável e B não: falso (achamos C não diagonalizável).
  • b) diz B diagonalizável e C não: falso ( B não é diagonalizável sobre \mathbb{R}).
  • c) diz A diagonalizável e B não: verdadeiro (corresponde ao que achamos).
  • d) diz A e B diagonalizáveis e C não: falso ( B não é diagonalizável sobre \mathbb{R}).
  • e) diz que nenhuma é diagonalizável: falso ( A é diagonalizável).
Portanto a alternativa correta é a que afirma que A é diagonalizável e B não.

Resposta

(c)

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