Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis? Para aquelas que são, encontre uma base de autovetores e exiba a forma diagonal associada. A=\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -1 & 3\end{array}\right)
e pede duas coisas: (1) determinar se a matriz é diagonalizável; (2) caso seja, encontrar uma base de autovetores e exibir a forma diagonal associada.
Informações relevantes que temos: os elementos de A são todos reais; a matriz é 2\times2. A resolução seguirá sem assumir nada além dessas informações.]
Passo 2
O que significa “diagonalizável” (aula rápida e prática): uma matriz A é diagonalizável sobre um corpo F (por exemplo F=\mathbb{R} ou F=\mathbb{C}) se existe uma base de F^n composta por autovetores de A. Equivalente: existe matriz invertível P com entradas em F tal que
P^{-1}AP=D
onde D é diagonal; os elementos da diagonal de D são autovalores de A. Dois conceitos importantes:
Autovalores: raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Se os autovalores são distintos (todos diferentes) em F, então A é automaticamente diagonalizável sobre F porque teremos n autovetores linearmente independentes. Se houver autovalores repetidos é preciso checar a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) para decidir.
Passo 3
Vamos calcular o polinômio característico de A. Para 2\times2 usamos \det(A-\lambda I):
Portanto o polinômio característico é \lambda^2-6\lambda+10.]
Passo 4
Resolvendo a equação característica \lambda^2-6\lambda+10=0 usamos a fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{6\pm\sqrt{36-40}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{-4}}{2}=3\pm i.
Conclusões intermediárias importantes (leitura cuidadosa):
Os autovalores são \lambda_1=3+i e \lambda_2=3-i, que são complexos e distintos.
Como são distintos no corpo \mathbb{C}, isso já garante que A é diagonalizável sobre \mathbb{C}.
Sobre \mathbb{R}: não existem autovalores reais, então não existe matriz diagonal real D e base real de autovetores; logo A não é diagonalizável sobre \mathbb{R} para uma matriz diagonal com entradas reais.
Passo 5
Agora vamos encontrar autovetores (fazendo isso sobre \mathbb{C}). Para \lambda_1=3+i resolvemos (A-(3+i)I)v=0. Escrevendo a matriz:
Do sistema i x + y = 0 vem y = -i x. Tomando x=1, obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}.
Verificação de independência linear (sobre \mathbb{C}): considere a matriz cujas colunas são v_1 e v_2,
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] i & -i\end{pmatrix}.
O determinante de P é
\det(P)=1\cdot(-i)-1\cdot i=-2i\neq 0,
logo v_1 e v_2 são linearmente independentes sobre \mathbb{C} e formam uma base de \mathbb{C}^2.]
Passo 7
Construímos a diagonal correspondente: colocando v_1,v_2 como colunas de P obtemos P invertível e a forma diagonal D com autovalores na diagonal na mesma ordem das colunas:
(Se quiser, pode-se calcular explicitamente P^{-1}=\dfrac{1}{-2i}\begin{pmatrix}-i & -1 \\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}, e verificar a igualdade por multiplicação, mas não é necessário para concluir a diagonalização.)]
Resposta
Não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
É diagonalizável sobre \mathbb{C}. Uma base de autovetores em \mathbb{C}^2 é