Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis? Para aquelas que são, encontre uma base de autovetores e exiba a forma diagonal associada.
A=\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}
e pede duas coisas: (1) determinar se a matriz é diagonalizável; (2) caso seja, encontrar uma base de autovetores e exibir a forma diagonal associada.
Informações relevantes que temos: os elementos de A são todos reais; a matriz é 2\times2. A resolução seguirá sem assumir nada além dessas informações.]

Passo 2

O que significa “diagonalizável” (aula rápida e prática): uma matriz A é diagonalizável sobre um corpo F (por exemplo F=\mathbb{R} ou F=\mathbb{C}) se existe uma base de F^n composta por autovetores de A. Equivalente: existe matriz invertível P com entradas em F tal que
P^{-1}AP=D
onde D é diagonal; os elementos da diagonal de D são autovalores de A. Dois conceitos importantes:
  • Autovalores: raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
  • Se os autovalores são distintos (todos diferentes) em F, então A é automaticamente diagonalizável sobre F porque teremos n autovetores linearmente independentes. Se houver autovalores repetidos é preciso checar a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) para decidir.

Passo 3

Vamos calcular o polinômio característico de A. Para 2\times2 usamos \det(A-\lambda I):
\det\!\left(\begin{pmatrix}3-\lambda & 1 \\[4pt] -1 & 3-\lambda\end{pmatrix}\right) =(3-\lambda)^2 - (1)(-1)=(3-\lambda)^2+1.
Expandindo:
(3-\lambda)^2+1=\lambda^2-6\lambda+10.
Portanto o polinômio característico é \lambda^2-6\lambda+10.]

Passo 4

Resolvendo a equação característica \lambda^2-6\lambda+10=0 usamos a fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{6\pm\sqrt{36-40}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{-4}}{2}=3\pm i.
Conclusões intermediárias importantes (leitura cuidadosa):
  • Os autovalores são \lambda_1=3+i e \lambda_2=3-i, que são complexos e distintos.
  • Como são distintos no corpo \mathbb{C}, isso já garante que A é diagonalizável sobre \mathbb{C}.
  • Sobre \mathbb{R}: não existem autovalores reais, então não existe matriz diagonal real D e base real de autovetores; logo A não é diagonalizável sobre \mathbb{R} para uma matriz diagonal com entradas reais.

Passo 5

Agora vamos encontrar autovetores (fazendo isso sobre \mathbb{C}). Para \lambda_1=3+i resolvemos (A-(3+i)I)v=0. Escrevendo a matriz:
A-(3+i)I=\begin{pmatrix}3-(3+i) & 1 \\[4pt] -1 & 3-(3+i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-i & 1 \\[4pt] -1 & -i\end{pmatrix}.
Sistema linear correspondente (para v=(x,y)^T):
-i x + y = 0, \quad -x - i y = 0.
As duas equações são dependentes; da primeira obtemos y = i x. Tomando x=1 (escolha simples), um autovetor associado a \lambda_1 é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para \lambda_2=3-i repetimos:
A-(3-i)I=\begin{pmatrix}i & 1 \\[4pt] -1 & i\end{pmatrix}.
Do sistema i x + y = 0 vem y = -i x. Tomando x=1, obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}.
Verificação de independência linear (sobre \mathbb{C}): considere a matriz cujas colunas são v_1 e v_2,
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] i & -i\end{pmatrix}.
O determinante de P é
\det(P)=1\cdot(-i)-1\cdot i=-2i\neq 0,
logo v_1 e v_2 são linearmente independentes sobre \mathbb{C} e formam uma base de \mathbb{C}^2.]

Passo 7

Construímos a diagonal correspondente: colocando v_1,v_2 como colunas de P obtemos P invertível e a forma diagonal D com autovalores na diagonal na mesma ordem das colunas:
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] i & -i\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3+i & 0 \\[4pt] 0 & 3-i\end{pmatrix}.
Então sobre \mathbb{C} vale
P^{-1}AP=D.
(Se quiser, pode-se calcular explicitamente P^{-1}=\dfrac{1}{-2i}\begin{pmatrix}-i & -1 \\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}, e verificar a igualdade por multiplicação, mas não é necessário para concluir a diagonalização.)]

Resposta

Não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
É diagonalizável sobre \mathbb{C}. Uma base de autovetores em \mathbb{C}^2 é
\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}\right\},
e a forma diagonal associada (na ordem dada) é
\begin{pmatrix}3+i & 0 \\[4pt] 0 & 3-i\end{pmatrix}.]

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