Determine os autovalores e os autovetores de um operador linear T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cuja representação matricial em alguma base de \mathbb{R}^{2} seja:
C=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz C que representa um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 em alguma base de \mathbb{R}^2:
C=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
O que nos pedem:
  • Determinar os autovalores (eigenvalues) de T.
  • Determinar os autovetores (eigenvectors) correspondentes a cada autovalor.
Informações relevantes fornecidas:
  • Matriz C é 2\times2 com elementos 2,1,0,1.
  • Não há mais hipóteses adicionais; podemos trabalhar diretamente com C.]

Passo 2

Como encontrar autovalores: precisamos resolver a equação característica
\det(C-\lambda I)=0,
onde \lambda é o autovalor e I é a matriz identidade 2\times2. Vou explicar cada objeto:
  • \lambda é um número escalar (a incógnita).
  • I é a matriz identidade \displaystyle I=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
  • C-\lambda I significa subtrair \lambda dos elementos da diagonal de C.
  • \det(\cdot) é o determinante; para uma matriz 2\times2
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Esse é o procedimento padrão para achar autovalores.]

Passo 3

Formamos C-\lambda I e calculamos o determinante passo a passo:
C-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora o determinante (usando a fórmula para 2\times2):
\det(C-\lambda I)=(2-\lambda)(1-\lambda)-0\cdot 1=(2-\lambda)(1-\lambda).
A equação característica é
(2-\lambda)(1-\lambda)=0.
Portanto as soluções são \lambda=2 e \lambda=1. Estes são os autovalores (os dois são distintos).
Comentário didático rápido: para matrizes triangulares (como esta, que é triangular superior), os autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Aqui os elementos da diagonal são 2 e 1, o que bate com o que acabamos de achar.]

Passo 4

Agora vamos achar os autovetores associados a \lambda=2\). Para isso resolvemos \[(C-2I)v=0,
onde v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} é o vetor desconhecido e 0 é o vetor nulo.
Compute C-2I:
C-2I=\begin{pmatrix}2-2 & 1 \\[4pt] 0 & 1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
O sistema linear (C-2I)v=0 equivale a:
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y = 0,\\[4pt] 0\cdot x -1\cdot y = 0. \end{cases}
Ambas equações dizem a mesma coisa: y=0\]. A componente \(x não aparece (é livre). Logo os autovetores associados a \lambda=2 são todos os vetores da forma
\begin{pmatrix}x\\[4pt] 0\end{pmatrix}\quad\text{com }x\neq 0.
Podemos escolher um representante simples, por exemplo \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Explicação conceitual: um autovetor não pode ser o vetor nulo; por isso exigimos x\neq0. Todos os múltiplos escalares de um autovetor são também autovetores do mesmo autovalor.]

Passo 5

Agora achamos os autovetores para \lambda=1\). Resolvemos \[(C-1I)v=0.
Calcule C-1I:
C-1I=\begin{pmatrix}2-1 & 1 \\[4pt] 0 & 1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
O sistema (C-1I)v=0 é:
\begin{cases} 1\cdot x + 1\cdot y = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y = 0. \end{cases}
A segunda equação não dá restrição (é 0=0\]). A primeira diz \(x+y=0, ou seja x=-y. Podemos escolher a variável livre y=t e então x=-t. Assim os autovetores são
\begin{pmatrix}-t\\[4pt] t\end{pmatrix}\quad\text{com }t\neq 0.
Um representante simples é \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} (ou, equivalentemente, \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} se preferir).]

Passo 6

Pequena observação útil para a prova (motivacional): como os autovalores são distintos ( \lambda=2 e \lambda=1), os autovetores associados são linearmente independentes. Isso significa que existe uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores e que a matriz C é diagonalizável. Mas isso é um complemento — o pedido da questão era apenas encontrar autovalores e autovetores.

Resposta

Autovalores: \lambda=2 e \lambda=1.
Autovetores para \lambda=2: todos os vetores da forma \displaystyle\begin{pmatrix}x\\[4pt]0\end{pmatrix} com x\neq 0 (ex.: \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}).
Autovetores para \lambda=1: todos os vetores da forma \displaystyle\begin{pmatrix}-t\\[4pt]t\end{pmatrix} com t\neq 0 (ex.: \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}).]

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