Determine os autovalores e os autovetores de um operador linear T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cuja representação matricial em alguma base de \mathbb{R}^{2} seja: C=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado dá a matriz C que representa um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 em alguma base de \mathbb{R}^2:
Portanto as soluções são \lambda=2 e \lambda=1. Estes são os autovalores (os dois são distintos).
Comentário didático rápido: para matrizes triangulares (como esta, que é triangular superior), os autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Aqui os elementos da diagonal são 2 e 1, o que bate com o que acabamos de achar.]
Passo 4
Agora vamos achar os autovetores associados a \lambda=2\). Para isso resolvemos
\[(C-2I)v=0,
onde v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} é o vetor desconhecido e 0 é o vetor nulo.
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y = 0,\\[4pt] 0\cdot x -1\cdot y = 0. \end{cases}
Ambas equações dizem a mesma coisa: y=0\]. A componente \(x não aparece (é livre). Logo os autovetores associados a \lambda=2 são todos os vetores da forma
Podemos escolher um representante simples, por exemplo \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Explicação conceitual: um autovetor não pode ser o vetor nulo; por isso exigimos x\neq0. Todos os múltiplos escalares de um autovetor são também autovetores do mesmo autovalor.]
Passo 5
Agora achamos os autovetores para \lambda=1\). Resolvemos
\[(C-1I)v=0.
\begin{cases} 1\cdot x + 1\cdot y = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y = 0. \end{cases}
A segunda equação não dá restrição (é 0=0\]). A primeira diz \(x+y=0, ou seja x=-y. Podemos escolher a variável livre y=t e então x=-t. Assim os autovetores são
Um representante simples é \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} (ou, equivalentemente, \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} se preferir).]
Passo 6
Pequena observação útil para a prova (motivacional): como os autovalores são distintos (\lambda=2 e \lambda=1), os autovetores associados são linearmente independentes. Isso significa que existe uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores e que a matriz C é diagonalizável. Mas isso é um complemento — o pedido da questão era apenas encontrar autovalores e autovetores.
Resposta
Autovalores: \lambda=2 e \lambda=1.
Autovetores para \lambda=2: todos os vetores da forma \displaystyle\begin{pmatrix}x\\[4pt]0\end{pmatrix} com x\neq 0 (ex.: \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}).
Autovetores para \lambda=1: todos os vetores da forma \displaystyle\begin{pmatrix}-t\\[4pt]t\end{pmatrix} com t\neq 0 (ex.: \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}).]