Determine os autovalores e os autovetores de um operador linear T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cuja representação matricial em alguma base de \mathbb{R}^{2} seja:
D=\left(\begin{array}{cc}-1 & -3 \\\\ -1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os autovalores e os autovetores do operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz, em alguma base, é
D=\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Informações dadas:
D=\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Perguntas a responder:
  1. Quais são os autovalores (valores próprios) de D?
  2. Para cada autovalor, encontrar um autovetor não-nulo correspondente.]

Passo 2

O que é preciso fazer (fórmula e ideia):
  • Definição: \emph{autovalor} \lambda é escalar tal que existe vetor não-nulo v com Dv=\lambda v. Vetor v\neq 0 que satisfaz isso é um \emph{autovetor} associado a \lambda.
  • Para achar \lambda calculamos o polinômio característico \det(D-\lambda I)=0. Para matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui usaremos essa fórmula com a=-1-\lambda, b=-3, c=-1, d=1-\lambda.
  • Para cada \lambda encontrado, resolvemos o sistema linear (D-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores (geralmente teremos uma família com um parâmetro livre).]

Passo 3

Calcular o polinômio característico:
\det(D-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -3\\[4pt]-1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Usando a fórmula ad-bc:
\det(D-\lambda I)=(-1-\lambda)(1-\lambda)-(-3)(-1).
Expandindo o produto:
(-1-\lambda)(1-\lambda) = -1 + \lambda^2
(portanto o termo misto em \lambda cancela). Assim
\det(D-\lambda I)=\lambda^2-1 - 3 = \lambda^2-4.]

Passo 4

Encontrar os autovalores resolvendo a equação característica:
\lambda^2-4=0.
Isto é uma quadrática simples; fatorando,
\lambda^2-4=(\lambda-2)(\lambda+2)=0.
Logo os autovalores são
\lambda_1=2\quad\text{e}\quad \lambda_2=-2.

Passo 5

Agora vamos achar os autovetores para \lambda_1=2\). Montamos \((D-2I)v=0\): \[D-2I=\begin{pmatrix}-1-2 & -3\\[4pt]-1 & 1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & -3\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix}.
Se v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, o sistema (D-2I)v=0 é
\begin{cases} -3x-3y=0,\\[4pt] -1x-1y=0. \end{cases}
As duas equações são proporcionais (segunda é \tfrac{1}{3}\] da primeira), então basta usar uma delas. Da segunda vem \[- x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + y = 0.\] Escolhemos uma variável livre, por exemplo \(y=t. Então x=-t. Um autovetor (qualquer t\neq 0) é
v=t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para ficar mais bonito, escolhemos t=1 e obtemos o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Se preferir, pode usar \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}; é equivalente, só muda o sinal.)]

Passo 6

Agora achar autovetores para \lambda_2=-2\). Montamos \((D+2I)v=0\): \[D-(-2)I=D+2I=\begin{pmatrix}-1+2 & -3\\[4pt]-1 & 1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
Se v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, o sistema é
\begin{cases} x-3y=0,\\[4pt] - x + 3y =0. \end{cases}
Novamente as equações são proporcionais; da primeira obtemos
x-3y=0\quad\Longrightarrow\quad x=3y.
Escolhendo y=t\], obtemos \(x=3t. Um autovetor (com t\neq 0) é
v=t\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Escolhendo t=1 para simplicidade:
v_2=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Checagem rápida (para confirmar sem calculadora): multiplicar D por cada autovetor e ver se dá \lambda v.
  • Para \lambda_1=2 e v_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}:
D v_1 = \begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(-1)(-1)+(-3)(1)\\[4pt](-1)(-1)+(1)(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-3\\[4pt]1+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}=2v_1.
  • Para \lambda_2=-2 e v_2=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}:
D v_2 = \begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(-1)(3)+(-3)(1)\\[4pt](-1)(3)+(1)(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3-3\\[4pt]-3+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\[4pt]-2\end{pmatrix} = -2\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}=-2v_2.
As checagens batem, então os autovalores e autovetores estão corretos.]

Resposta

Autovalores: \lambda_1=2, \lambda_2=-2
Autovetores: para \lambda_1=2: v_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} (qualquer múltiplo não nulo)
para \lambda_2=-2: v_2=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} (qualquer múltiplo não nulo)]

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