Determine os autovalores e os autovetores de um operador linear T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cuja representação matricial em alguma base de \mathbb{R}^{2} seja: D=\left(\begin{array}{cc}-1 & -3 \\\\ -1 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os autovalores e os autovetores do operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz, em alguma base, é
Para cada autovalor, encontrar um autovetor não-nulo correspondente.]
Passo 2
O que é preciso fazer (fórmula e ideia):
Definição: \emph{autovalor} \lambda é escalar tal que existe vetor não-nulo v com Dv=\lambda v. Vetor v\neq 0 que satisfaz isso é um \emph{autovetor} associado a \lambda.
Para achar \lambda calculamos o polinômio característico \det(D-\lambda I)=0. Para matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui usaremos essa fórmula com a=-1-\lambda, b=-3, c=-1, d=1-\lambda.
Para cada \lambda encontrado, resolvemos o sistema linear (D-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores (geralmente teremos uma família com um parâmetro livre).]
As duas equações são proporcionais (segunda é \tfrac{1}{3}\] da primeira), então basta usar uma delas. Da segunda vem
\[- x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + y = 0.\]
Escolhemos uma variável livre, por exemplo \(y=t. Então x=-t. Um autovetor (qualquer t\neq 0) é
v=t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para ficar mais bonito, escolhemos t=1 e obtemos o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Se preferir, pode usar \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}; é equivalente, só muda o sinal.)]