considere os seguintes operadores do momentum angular:
,
e
. Calcule
e
.
Passo 1
Temos os operadores de momento angular
e queremos calcular os comutadores
e
. O conteúdo aqui é a álgebra de comutação do momento angular, usando as relações canônicas
.
Passo 2
Recordando as comutações básicas:
,
,
e a regra de Leibniz
Passo 3
Vamos expandir
em quatro termos:
- Para
usamos
Como, ,
e, , temos - Os termos
e
anulam-se por
envolverem comutações entre coordenadas distintas e momentos distintos. - Para
temos
Aqui, ,
, e ,
então
Somando,
Passo 4
Para
vale
Usando
e
(semelhante), obtemos
.
Analogamente .
E . Somando tudo dá zero:
Analogamente
E