considere os seguintes operadores do momentum angular: Lx=y pz-widehatz py, Ly=widehatz px-widehatx pz e Lz=widehatx py-widehaty px. Calcule [Lx, Ly] e [L^2, Lz].

Passo 1

Temos os operadores de momento angular
Lx = y,pz ;-;z,py, Ly = z,px ;-;x,pz, Lz = x,py ;-;y,px
e queremos calcular os comutadores l[Lx,Lyr] e l[L^2,Lzr]. O conteúdo aqui é a álgebra de comutação do momento angular, usando as relações canônicas l[xi,pjr]=ihbar ,de<aij.

Passo 2

Recordando as comutações básicas:
l[xi,xjr]=0,
l[pi,pjr]=0,
l[xi,pjr]=ihbar,de<aij,
e a regra de Leibniz
l[AB,Cr] =A,l[B,Cr] +l[A,Cr],B

Passo 3

Vamos expandir
l[Lx,Lyr] =l[ypz-zpy,,zpx-xpzr]
em quatro termos:
l[ypz,zpxr] -l[ypz,xpzr] -l[zpy,zpxr] +l[zpy,xpzr]
  1. Para l[ypz,zpxr] usamos
    l[ypz,zpxr] =l[ypz,zr]px +z,l[ypz,pxr]
    Como l[y,zr]=0, l[pz,zr]=-,ihbar,
    e l[pz,pxr]=0, l[y,pxr]=0, temos l[ypz,zpxr] =(y,[-,ihbar]),px =-,ihbar,y,px
  2. Os termos l[ypz,xpzr] e
    l[zpy,zpxr] anulam-se por
    envolverem comutações entre coordenadas distintas e momentos distintos.
  3. Para l[zpy,xpzr] temos
    l[zpy,xpzr] =l[zpy,xr]pz +x,l[zpy,pzr]
    Aqui l[z,xr]=0, l[py,xr]=0,
    l[z,pzr]=ihbar, e l[py,pzr]=0,
    então l[zpy,xpzr] =x,(ihbar,py) =ihbar,x,py
Somando,
l[Lx,Lyr] =-,ihbar,y,px +,ihbar,x,py =ihbarl(xpy-ypxr) =ihbar,Lz

Passo 4

Para L^2=Lx^2+Ly^2+Lz^2 vale
l[L^2,Lzr] =l[Lx^2,Lzr] +l[Ly^2,Lzr] +l[Lz^2,Lzr]
Usando l[Lx^2,Lzr] =Lxl[Lx,Lzr] +l[Lx,Lzr]Lx e
l[Lx,Lzr]=-,ihbar,Ly (semelhante), obtemos
l[Lx^2,Lzr]=-ihbar(LxLy+LyLx).
Analogamente l[Ly^2,Lzr] =+ihbar(LyLx+LxLy).
E l[Lz^2,Lzr]=0. Somando tudo dá zero:
l[L^2,Lzr]=0

Resposta

l[Lx,Lyr]=ihbar,Lz, l[L^2,Lzr]=0

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