Seja widehatH=px^22 m a hamiltoniana de uma partícula livre. Usando a equação de Heisenberg, calcule d xd t d pxd t e interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado nos dá a hamiltoniana de uma partícula livre
widehatH = px^22m
e pede para usar a equação de Heisenberg
dAdt = ihbar l[widehatH,Ar] + partial Apartial t
para calcular dxdt e dpxdt. Vamos precisar da propriedade do comutador e de que nem x nem px dependem explicitamente do tempo.

Passo 2

Calculamos primeiro
dxdt = ihbar l[widehatH,xr]
Como widehatH=hat px^2/(2m), usamos
l[hat px^2,xr] = hat pxl[hat px,xr] + l[hat px,xr]hat px
E sabemos que l[hat px,xr]=-,ihbar.

Passo 3

Substituindo no comutador:
l[hat px^2,xr] = hat px(-,ihbar) + (-,ihbar),hat px = -2ihbar,hat px
Então
l[widehatH,xr] = 12ml[hat px^2,xr] = 12m(-2ihbar,hat px) = -,ihbarm,hat px
Logo
dxdt = ihbarl(-ihbarmhat pxr) = hat pxm

Passo 4

Agora calculamos
dpxdt = ihbarl[widehatH,pxr]
Mas widehatH é função apenas de hat px, então
l[hat px^2,pxr]=0 Longrightarrow l[widehatH,pxr]=0
Portanto
dpxdt=0

Passo 5

Interpretação:
  • dxdt=hat pxm mostra que o operador velocidade é hat vx=hat px/m, igual ao resultado clássico.
  • dpxdt=0 indica que não há força atuando ( hat px é constante), característico de partícula livre sem potencial.

Resposta

dxdt=hat pxm, dpxdt=0
Interpretação: a velocidade é hat px/m e o momento é conservado (partícula livre).

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