Q2- Determine os autovalores e os autovetores associados ao operador:
A=[cc 0 & -i i & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador
A=0 & -i[6pt] i & 0
Vamos usar o conceito de autovalor, que satisfaz
det(A-lambda I)=0,
e depois resolver (A-lambda I)x=0 para cada lambda.]

Passo 2

Formamos a matriz A-lambda I e calculamos seu determinante:
A-lambda I = -lambda & -i[4pt] i & -lambda , det(A-lambda I) = (-lambda)(-lambda)-(-i)(i) =lambda^2-(-i^2) =lambda^2-1 ]

Passo 3

Impondo det(A-lambda I)=0 obtemos
lambda^2-1=0 Longrightarrow lambda=pm1

Passo 4

Para resolvemos
Da primeira linha vem , logo . Da segunda segue . Ambas são compatíveis e dão . Escolhendo , obtemos o autovetor
]

Passo 5

Para resolvemos
Da primeira linha . Da segunda . Compatibilizando, temos . Tomando , surge o autovetor
]

Resposta

Os autovalores são
com autovetor
e
com autovetor .

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