Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} 5 \\\\ 11 \\\\ 16 \\\\ -8 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} 14 \\\\ 12 \\\\ 11 \\\\ 2 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ -2 \\\\ -2 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar explicitamente os pontos e geradores que aparecem (peguei estes vetores do enunciado):
  • Primeiro plano: ponto base \displaystyle \begin{bmatrix}5\\[4pt]11\\[4pt]16\\[4pt]-8\end{bmatrix} e geradores \displaystyle u=\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{bmatrix}, \displaystyle w=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{bmatrix}.
  • Segundo plano: ponto base \displaystyle \begin{bmatrix}14\\[4pt]12\\[4pt]11\\[4pt]2\end{bmatrix} e geradores \displaystyle v=\begin{bmatrix}-3\\[4pt]-2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{bmatrix}, \displaystyle z=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]3\end{bmatrix}.
O que o enunciado pede: encontrar o ponto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) de interseção desses dois planos e, em particular, informar o valor de x_{1}.]

Passo 2

Estratégia e ideia matemática usada (passo a passo, sem pular etapas).
Um plano afim pode ser escrito na forma paramétrica: ponto base mais combinação linear dos geradores. Assim introduzo parâmetros para cada plano:
  • Para o primeiro plano uso parâmetros \alpha,\beta e escrevo
x=\begin{bmatrix}5\\[4pt]11\\[4pt]16\\[4pt]-8\end{bmatrix}+\alpha\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{bmatrix}.
  • Para o segundo plano uso parâmetros \gamma,\delta e escrevo
x=\begin{bmatrix}14\\[4pt]12\\[4pt]11\\[4pt]2\end{bmatrix}+\gamma\begin{bmatrix}-3\\[4pt]-2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{bmatrix}+\delta\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]3\end{bmatrix}.
Interseção significa que existe um mesmo vetor x que é representado pelas duas parametrizações para alguns valores de \alpha,\beta,\gamma,\delta. Vou igualar componente a componente e resolver o sistema linear resultante.]

Passo 3

Escrever as equações componente a componente (igualando as duas parametrizações). Para cada coordenada obtemos:
  1. primeira coordenada:
5+0\cdot\alpha+1\cdot\beta = 14-3\gamma+2\delta,
ou seja
5+\beta = 14-3\gamma+2\delta.
  1. segunda coordenada:
11+1\cdot\alpha-1\cdot\beta = 12-2\gamma+\delta,
ou seja
11+\alpha-\beta = 12-2\gamma+\delta.
  1. terceira coordenada:
16+1\cdot\alpha-3\cdot\beta = 11-2\gamma+0\cdot\delta,
ou seja
16+\alpha-3\beta = 11-2\gamma.
  1. quarta coordenada:
-8-1\cdot\alpha+2\cdot\beta = 2+\gamma+3\delta,
ou seja
-8-\alpha+2\beta = 2+\gamma+3\delta.
Temos 4 equações lineares nas 4 incógnitas \alpha,\beta,\gamma,\delta.

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo, manipulando as equações de forma simples e clara.
Primeiro reorganizo a equação da terceira coordenada:
16+\alpha-3\beta = 11-2\gamma
\Rightarrow \alpha+2\gamma-3\beta = -5. \tag{A}
Reorganizo a equação da segunda coordenada:
11+\alpha-\beta = 12-2\gamma+\delta
\Rightarrow \alpha+2\gamma-\beta-\delta = 1. \tag{B}
Faço (B) menos (A) para eliminar \alpha+2\gamma:
(\alpha+2\gamma-\beta-\delta)-(\alpha+2\gamma-3\beta)=1-(-5)
\Rightarrow 2\beta-\delta = 6.
Assim obtenho
\delta = 2\beta-6. \tag{5}
Agora uso a primeira equação:
5+\beta = 14-3\gamma+2\delta
\Rightarrow 3\gamma -2\delta +\beta = 9.
Substituo \delta de (5):
3\gamma -2(2\beta-6)+\beta = 9
3\gamma -4\beta+12+\beta = 9
3\gamma -3\beta = -3
\Rightarrow \gamma-\beta = -1,
ou seja
\gamma = \beta-1. \tag{6}
Volto à equação (A):
\alpha+2\gamma-3\beta = -5.
Substituo \gamma de (6):
\alpha+2(\beta-1)-3\beta = -5
\alpha+2\beta-2-3\beta = -5
\alpha-\beta = -3
\Rightarrow \alpha = \beta-3. \tag{7}
Agora tenho \alpha,\gamma,\delta expressos em função de \beta. Substituo tudo na quarta equação para determinar \beta.
Quarta equação:
-8-\alpha+2\beta = 2+\gamma+3\delta.
Substituo \alpha=\beta-3, \gamma=\beta-1, \delta=2\beta-6:
Lado esquerdo:
-8-(\beta-3)+2\beta = -8-\beta+3+2\beta = -5+\beta.
Lado direito:
2+(\beta-1)+3(2\beta-6)=2+\beta-1+6\beta-18 = -17+7\beta.
Igualando:
-5+\beta = -17+7\beta
\Rightarrow 12 = 6\beta
\Rightarrow \beta = 2.
Com \beta=2 obtenho:
\alpha = \beta-3 = -1,\qquad \gamma = \beta-1 = 1,\qquad \delta = 2\beta-6 = -2.

Passo 5

Calcular o ponto de interseção \;x\; usando a parametrização do primeiro plano (pode usar qualquer uma das duas parametrizações; ambas darão o mesmo vetor):
x=\begin{bmatrix}5\\[4pt]11\\[4pt]16\\[4pt]-8\end{bmatrix}+\alpha\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{bmatrix}
Substituindo \alpha=-1 e \beta=2:
\alpha\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2\\[4pt]-2\\[4pt]-6\\[4pt]4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]-7\\[4pt]5\end{bmatrix}.
Somando ao ponto base:
x=\begin{bmatrix}5\\[4pt]11\\[4pt]16\\[4pt]-8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]-7\\[4pt]5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7\\[4pt]8\\[4pt]9\\[4pt]-3\end{bmatrix}.
Portanto a interseção é \displaystyle \left( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\left(7,8,9,-3\right). Em particular \,x_{1}=7\,.]

Resposta

(D) 7

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