Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar explicitamente os pontos e geradores que aparecem (peguei estes vetores do enunciado):
Primeiro plano: ponto base \displaystyle \begin{bmatrix}5\\[4pt]11\\[4pt]16\\[4pt]-8\end{bmatrix} e geradores \displaystyle u=\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{bmatrix}, \displaystyle w=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Segundo plano: ponto base \displaystyle \begin{bmatrix}14\\[4pt]12\\[4pt]11\\[4pt]2\end{bmatrix} e geradores \displaystyle v=\begin{bmatrix}-3\\[4pt]-2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{bmatrix}, \displaystyle z=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]3\end{bmatrix}.
O que o enunciado pede: encontrar o ponto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) de interseção desses dois planos e, em particular, informar o valor de x_{1}.]
Passo 2
Estratégia e ideia matemática usada (passo a passo, sem pular etapas).
Um plano afim pode ser escrito na forma paramétrica: ponto base mais combinação linear dos geradores. Assim introduzo parâmetros para cada plano:
Para o primeiro plano uso parâmetros \alpha,\beta e escrevo
Interseção significa que existe um mesmo vetor x que é representado pelas duas parametrizações para alguns valores de \alpha,\beta,\gamma,\delta. Vou igualar componente a componente e resolver o sistema linear resultante.]
Passo 3
Escrever as equações componente a componente (igualando as duas parametrizações). Para cada coordenada obtemos:
Calcular o ponto de interseção \;x\; usando a parametrização do primeiro plano (pode usar qualquer uma das duas parametrizações; ambas darão o mesmo vetor):