Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: \left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 1 & -1 & -1 & -3 \\\\ 2 & 1 & -5 & -2 \\\\ 2 & 1 & -1 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4
Passo 1
O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear. Peguei todos os coeficientes da matriz fornecida:
A pergunta é: assinale o valor de k (entre as alternativas dadas) de forma que o sistema tenha solução.
Passo 2
Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por linhas). Justificativa curta e amigável: é o método mais direto para checar consistência de um sistema e encontrar condições em parâmetros (aqui k). Vou aplicar operações elementares por linhas até aparecer, se existir, uma linha do tipo 0\\\ 0\\\ 0 \mid c. Se aparecer c\neq 0 o sistema é inconsistente; se aparecer c=0 o sistema pode ser consistente. Vou detalhar cada operação e mostrar os cálculos, passo a passo.
Passo 3
Começo subtraindo a primeira linha das outras para zerar a primeira coluna abaixo do pivô. Escrevo a operação e calculo cada entrada:
Interpretação de consistência: a última linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = k+6,
ou seja \;0 = k+6. Para que isso seja verdade (e o sistema seja consistente) precisamos de
k+6 = 0 \quad\Rightarrow\quad k = -6.
Se k\neq -6 temos uma linha 0= \text{não nulo}ã e o sistema é inconsistente (sem solução). Se k=-6 não há linha contraditória e o sistema tem solução. Além disso, quando k=-6 os pivôs nas três primeiras colunas são não nulos, então a matriz de coeficientes tem posto 3 e, com 3 incógnitas, a solução é única.
Passo 7
(Ajuda extra — como encontrar a solução quando k=-6, para treinar.)
Se k=-6, a linha 3 é [0\\\ 0\\\ -2 \mid 2] que dá
-2z = 2 \quad\Rightarrow\quad z = -1.
A linha 2 é [0\\\ -3\\\ 1 \mid -2] que dá
-3y + z = -2 \quad\Rightarrow\quad -3y + (-1) = -2 \quad\Rightarrow\quad -3y = -1 \quad\Rightarrow\quad y = \tfrac{1}{3}.
A linha 1 é [1\\\ 2\\\ -2 \mid -1] que dá
x + 2y - 2z = -1 \quad\Rightarrow\quad x + 2\cdot\!\tfrac{1}{3} - 2(-1) = -1.
Calculando:
x + \tfrac{2}{3} + 2 = -1 \quad\Rightarrow\quad x + \tfrac{8}{3} = -1 \quad\Rightarrow\quad x = -\tfrac{11}{3}.