Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 1 & -1 & -1 & -3 \\\\ 2 & 1 & -5 & -2 \\\\ 2 & 1 & -1 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear. Peguei todos os coeficientes da matriz fornecida:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 1 & -1 & -1 & -3 \\\\ 2 & 1 & -5 & -2 \\\\ 2 & 1 & -1 & k \end{array}\right]
A pergunta é: assinale o valor de k (entre as alternativas dadas) de forma que o sistema tenha solução.

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por linhas). Justificativa curta e amigável: é o método mais direto para checar consistência de um sistema e encontrar condições em parâmetros (aqui k). Vou aplicar operações elementares por linhas até aparecer, se existir, uma linha do tipo 0\\\ 0\\\ 0 \mid c. Se aparecer c\neq 0 o sistema é inconsistente; se aparecer c=0 o sistema pode ser consistente. Vou detalhar cada operação e mostrar os cálculos, passo a passo.

Passo 3

Começo subtraindo a primeira linha das outras para zerar a primeira coluna abaixo do pivô. Escrevo a operação e calculo cada entrada:
Operações:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
Cálculos (cada entrada feita elemento a elemento):
  • Para R_2: [1,-1,-1 \mid -3] - [1,2,-2 \mid -1] = [0,-3,1 \mid -2].
  • Para R_3: [2,1,-5 \mid -2] - 2[1,2,-2 \mid -1] = [2,1,-5 \mid -2] - [2,4,-4 \mid -2] = [0,-3,-1 \mid 0].
  • Para R_4: [2,1,-1 \mid k] - 2[1,2,-2 \mid -1] = [2,1,-1 \mid k] - [2,4,-4 \mid -2] = [0,-3,3 \mid k+2].
A matriz fica então
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 0 & -3 & 1 & -2 \\\\ 0 & -3 & -1 & 0 \\\\ 0 & -3 & 3 & k+2 \end{array}\right].

Passo 4

Agora uso a segunda linha como pivô na segunda coluna e elimino abaixo dela. Faço:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
Cálculos:
  • R_3: [0,-3,-1 \mid 0] - [0,-3,1 \mid -2] = [0,0,-2 \mid 2].
  • R_4: [0,-3,3 \mid k+2] - [0,-3,1 \mid -2] = [0,0,2 \mid k+4] (pois k+2 -(-2)=k+4).
A matriz agora é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 0 & -3 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & -2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 2 & k+4 \end{array}\right].

Passo 5

Por fim, uso a terceira linha como pivô na terceira coluna e elimino a quarta linha na terceira coluna. Faço:
R_4 \leftarrow R_4 + R_3,
pois [0,0,2] + [0,0,-2] = [0,0,0].
Cálculo do termo independente da nova R_4:
(k+4) + 2 = k+6.
Assim a quarta linha fica [0\\\ 0\\\ 0 \mid k+6]. A matriz reduzida (escalonada) é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 0 & -3 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & -2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & k+6 \end{array}\right].

Passo 6

Interpretação de consistência: a última linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = k+6,
ou seja \;0 = k+6. Para que isso seja verdade (e o sistema seja consistente) precisamos de
k+6 = 0 \quad\Rightarrow\quad k = -6.
Se k\neq -6 temos uma linha 0= \text{não nulo}ã e o sistema é inconsistente (sem solução). Se k=-6 não há linha contraditória e o sistema tem solução. Além disso, quando k=-6 os pivôs nas três primeiras colunas são não nulos, então a matriz de coeficientes tem posto 3 e, com 3 incógnitas, a solução é única.

Passo 7

(Ajuda extra — como encontrar a solução quando k=-6, para treinar.)
Se k=-6, a linha 3 é [0\\\ 0\\\ -2 \mid 2] que dá
-2z = 2 \quad\Rightarrow\quad z = -1.
A linha 2 é [0\\\ -3\\\ 1 \mid -2] que dá
-3y + z = -2 \quad\Rightarrow\quad -3y + (-1) = -2 \quad\Rightarrow\quad -3y = -1 \quad\Rightarrow\quad y = \tfrac{1}{3}.
A linha 1 é [1\\\ 2\\\ -2 \mid -1] que dá
x + 2y - 2z = -1 \quad\Rightarrow\quad x + 2\cdot\!\tfrac{1}{3} - 2(-1) = -1.
Calculando:
x + \tfrac{2}{3} + 2 = -1 \quad\Rightarrow\quad x + \tfrac{8}{3} = -1 \quad\Rightarrow\quad x = -\tfrac{11}{3}.
Então, para k=-6 a solução única é
\left(x,y,z\right) = \left(-\tfrac{11}{3},\\ \tfrac{1}{3},\\\ -1\right).

Resposta

(F) -6

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