A dimensão de S é:
(A) 8
(B) 2
(C) 3
(D) 12
(E) 10
(F) 11
(G) 4
(H) 9
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado define o conjunto S\) dos vetores \(\left(x_{1},\ldots,x_{12}\right)\in\mathbb{R}^{12}\) que satisfazem as três igualdades:
\[\begin{cases} x_{10}=x_{2},\\[4pt] x_{9}=x_{4},\\[4pt] x_{9}+x_{10}=x_{4}+x_{2}. \end{cases}
A pergunta é: qual é a dimensão de S\]? (ou seja, quantos graus de liberdade os vetores de \(S têm).]
Passo 2
Interpretando as equações: cada uma das três igualdades é uma equação linear homogênea em \mathbb{R}^{12}. Escrever isso explicitamente ajuda a ver a estrutura:
Como são equações homogêneas (lado direito igual a 0), o conjunto S é um subespaço linear de \mathbb{R}^{12} (fechado sob soma e multiplicação por escalar).
Passo 3
Vamos ver se as três equações são realmente independentes. Reescrevo-as como formas lineares:
que é exatamente \ell_{3}. Portanto \ell_{3}=\ell_{1}+\ell_{2}. Isso mostra que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras; logo as três equações não são todas independentes.
Passo 5
Conclusão sobre independência: entre as três equações há apenas \,2 equações linearmente independentes (essas independentes podem ser tomadas como \ell_{1} e \ell_{2}). Em termos de matrizes, a matriz do sistema teria posto (rank) igual a \,2.
Passo 6
Vou usar o teorema do núcleo (rank-nullity) de forma simples: para um sistema homogêneo em \mathbb{R}^{n} com posto \mathrm{rank}=r, o espaço solução (núcleo) tem dimensão
\dim(\mathrm{Null})=n-r.
Aqui n=12 e r=2. Portanto
\dim(S)=12-2=10.
Passo 7
Para ficar mais concreto (como fazer na prova): podemos parametrizar S escolhendo variáveis livres. Tomo como livres
ou seja, \,10 variáveis arbitrárias. As demais são determinados pelas equações:
x_{9}=x_{4},\qquad x_{10}=x_{2}.
Isso mostra explicitamente que há \,10 graus de liberdade, confirmando \dim(S)=10.
Passo 8
Recapitulando de forma intuitiva e motivadora: havia \,12 coordenadas originalmente; as duas restrições independentes reduzem os graus de liberdade em 2; logo sobraram \,10. Tá pronto — respira, você já dominou a ideia.