Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{12}\right) \in \mathbb{R}^{12} tais que:
\left\{\begin{array}{c} x_{10}=x_{2} \\\ x_{9}=x_{4} \\\ x_{9}+x_{10}=x_{4}+x_{2} \end{array}\right.
A dimensão de S é:
(A) 8
(B) 2
(C) 3
(D) 12
(E) 10
(F) 11
(G) 4
(H) 9

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado define o conjunto S\) dos vetores \(\left(x_{1},\ldots,x_{12}\right)\in\mathbb{R}^{12}\) que satisfazem as três igualdades: \[\begin{cases} x_{10}=x_{2},\\[4pt] x_{9}=x_{4},\\[4pt] x_{9}+x_{10}=x_{4}+x_{2}. \end{cases}
  • A pergunta é: qual é a dimensão de S\]? (ou seja, quantos graus de liberdade os vetores de \(S têm).]

Passo 2

Interpretando as equações: cada uma das três igualdades é uma equação linear homogênea em \mathbb{R}^{12}. Escrever isso explicitamente ajuda a ver a estrutura:
x_{10}-x_{2}=0, \qquad x_{9}-x_{4}=0, \qquad x_{9}+x_{10}-x_{4}-x_{2}=0.
Como são equações homogêneas (lado direito igual a 0), o conjunto S é um subespaço linear de \mathbb{R}^{12} (fechado sob soma e multiplicação por escalar).

Passo 3

Vamos ver se as três equações são realmente independentes. Reescrevo-as como formas lineares:
\ell_{1}:\;x_{10}-x_{2}=0, \qquad \ell_{2}:\;x_{9}-x_{4}=0, \qquad \ell_{3}:\;x_{9}+x_{10}-x_{4}-x_{2}=0.

Passo 4

Verifico relação entre essas formas lineares. Somando \ell_{1} com \ell_{2} obtenho:
(x_{10}-x_{2})+(x_{9}-x_{4})=x_{9}+x_{10}-x_{4}-x_{2},
que é exatamente \ell_{3}. Portanto \ell_{3}=\ell_{1}+\ell_{2}. Isso mostra que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras; logo as três equações não são todas independentes.

Passo 5

Conclusão sobre independência: entre as três equações há apenas \,2 equações linearmente independentes (essas independentes podem ser tomadas como \ell_{1} e \ell_{2}). Em termos de matrizes, a matriz do sistema teria posto (rank) igual a \,2.

Passo 6

Vou usar o teorema do núcleo (rank-nullity) de forma simples: para um sistema homogêneo em \mathbb{R}^{n} com posto \mathrm{rank}=r, o espaço solução (núcleo) tem dimensão
\dim(\mathrm{Null})=n-r.
Aqui n=12 e r=2. Portanto
\dim(S)=12-2=10.

Passo 7

Para ficar mais concreto (como fazer na prova): podemos parametrizar S escolhendo variáveis livres. Tomo como livres
x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4},\;x_{5},\;x_{6},\;x_{7},\;x_{8},\;x_{11},\;x_{12},
ou seja, \,10 variáveis arbitrárias. As demais são determinados pelas equações:
x_{9}=x_{4},\qquad x_{10}=x_{2}.
Isso mostra explicitamente que há \,10 graus de liberdade, confirmando \dim(S)=10.

Passo 8

Recapitulando de forma intuitiva e motivadora: havia \,12 coordenadas originalmente; as duas restrições independentes reduzem os graus de liberdade em 2; logo sobraram \,10. Tá pronto — respira, você já dominou a ideia.

Resposta

(E) 10

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