Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá o plano definido por
e pede escolher qual das opções (A) a (F) é uma equação paramétrica do plano, onde
são os parâmetros. Vou listar as informações relevantes que cada alternativa fornece (peguei estes dados diretamente das alternativas):
- (A) ponto
, vetores diretores e . - (B) ponto
, vetores diretores e . - (C) ponto
, vetores diretores e . - (D) ponto
, vetores diretores e . - (E) ponto
, vetores diretores e . - (F) ponto
, vetores diretores e .
O que o enunciado pede: identificar qual alternativa apresenta uma representação paramétrica correta do plano
.
Passo 2
Idéia geral do que procurar (explicação didática do critério):
- Uma equação paramétrica do plano tem a forma
, onde é um ponto qualquer do plano e são dois vetores linearmente independentes contidos no plano. - O vetor normal ao plano dado por
é . Isso vem do fato de que os coeficientes de na equação cartesiana dão as componentes do normal. - Propriedade-chave: um vetor
está contido no plano se, e somente se, ele for ortogonal ao normal; isto é, se . Aqui é o produto escalar (dot product). - Definição do produto escalar para vetores em
: se e então .
Portanto, para verificar cada alternativa é suficiente:
- Verificar que o ponto
satisfaz . - Verificar que
e (os vetores diretores estão no plano).
Se ambos os testes forem verdadeiros enão forem colineares entre si, a alternativa é uma representação paramétrica válida.
Passo 3
Testar se o ponto de cada alternativa pertence ao plano, substituindo na equação
.
- Alternativa (A), ponto
:
Logo o ponto de (A) pertence ao plano.
- Alternativa (B), ponto
:
O ponto de (B) também pertence ao plano.
- Alternativa (C), ponto
:
O ponto de (C) NÃO pertence ao plano.
-
Alternativa (D) tem o mesmo ponto de (C), portanto também NÃO pertence ao plano.
-
Alternativa (E), ponto
é igual ao de (A), já verificamos que pertence ao plano. -
Alternativa (F) tem o mesmo ponto de (B), que pertence ao plano.
Até aqui, as alternativas com pontos em cima do plano são (A), (B), (E) e (F). As alternativas (C) e (D) já podem ser descartadas.
Passo 4
Agora testar se os vetores diretores de cada alternativa (entre as que passaram no passo anterior) são ortogonais ao normal
. Vou calcular o produto escalar
e
para cada caso.
- Alternativa (A):
, .
Ambos produtos são zero, logo os dois vetores estão no plano. Além disso
e
não são múltiplos um do outro (um tem componente
não nula e o outro tem
), portanto são linearmente independentes. Assim (A) satisfaz todos os requisitos.
- Alternativa (B):
, .
O primeiro vetor diretor de (B) não é ortogonal ao normal, logo não está contido no plano. Assim (B) é inválida (mesmo tendo o ponto correto).
- Alternativa (E):
, .
Portanto
não está no plano; (E) é inválida.
- Alternativa (F):
, (mesmos vetores de (E)), já vemos que não é ortogonal ao normal, então (F) também é inválida.
Passo 5
Resumo das verificações:
- (A): ponto no plano e ambos vetores diretores satisfazem
. Vetores independentes → (A) é válida. - (B): ponto OK, mas
→ inválida. - (C): ponto fora do plano → inválida.
- (D): ponto fora do plano → inválida.
- (E): ponto OK, mas
→ inválida. - (F): ponto OK, mas
→ inválida.
Portanto apenas a alternativa (A) satisfaz todos os critérios.
Resposta
(A)