Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-2 x+5 y+7 z=3\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(-1,1,-\frac{4}{7}\right)+t(-21,0,-6)+s(0,-14,10)
(B) \left(1,-1, \frac{10}{7}\right)+t(-19,0,-8)+s(0,18,-12)
(C) \left(1,-1,-\frac{4}{7}\right)+t(-19,0,-8)+s(0,18,-12)
(D) \left(1,-1,-\frac{4}{7}\right)+t(-21,0,-6)+s(0,-14,10)
(E) \left(-1,1,-\frac{4}{7}\right)+t(-22,0,-5)+s(0,22,-16)
(F) \left(1,-1, \frac{10}{7}\right)+t(-22,0,-5)+s(0,22,-16)

Passo 1

O enunciado dá o plano definido por -2x+5y+7z=3 e pede escolher qual das opções (A) a (F) é uma equação paramétrica do plano, onde s,t\in\mathbb{R} são os parâmetros. Vou listar as informações relevantes que cada alternativa fornece (peguei estes dados diretamente das alternativas):
  • (A) ponto \left(-1,1,-\dfrac{4}{7}\right), vetores diretores v_{A1}=(-21,0,-6) e v_{A2}=(0,-14,10).
  • (B) ponto \left(1,-1,\dfrac{10}{7}\right), vetores diretores v_{B1}=(-19,0,-8) e v_{B2}=(0,18,-12).
  • (C) ponto \left(1,-1,-\dfrac{4}{7}\right), vetores diretores v_{C1}=(-19,0,-8) e v_{C2}=(0,18,-12).
  • (D) ponto \left(1,-1,-\dfrac{4}{7}\right), vetores diretores v_{D1}=(-21,0,-6) e v_{D2}=(0,-14,10).
  • (E) ponto \left(-1,1,-\dfrac{4}{7}\right), vetores diretores v_{E1}=(-22,0,-5) e v_{E2}=(0,22,-16).
  • (F) ponto \left(1,-1,\dfrac{10}{7}\right), vetores diretores v_{F1}=(-22,0,-5) e v_{F2}=(0,22,-16).
O que o enunciado pede: identificar qual alternativa apresenta uma representação paramétrica correta do plano -2x+5y+7z=3.

Passo 2

Idéia geral do que procurar (explicação didática do critério):
  • Uma equação paramétrica do plano tem a forma \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+s\mathbf{v}+t\mathbf{w}, onde \mathbf{r}_0 é um ponto qualquer do plano e \mathbf{v},\mathbf{w} são dois vetores linearmente independentes contidos no plano.
  • O vetor normal ao plano dado por -2x+5y+7z=3 é \mathbf{n}=(-2,5,7). Isso vem do fato de que os coeficientes de x,y,z na equação cartesiana dão as componentes do normal.
  • Propriedade-chave: um vetor \mathbf{v} está contido no plano se, e somente se, ele for ortogonal ao normal; isto é, se \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0. Aqui \cdot é o produto escalar (dot product).
  • Definição do produto escalar para vetores em \mathbb{R}^3: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) então \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
    Portanto, para verificar cada alternativa é suficiente:
  1. Verificar que o ponto \mathbf{r}_0 satisfaz -2x+5y+7z=3.
  2. Verificar que \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=0 (os vetores diretores estão no plano).
    Se ambos os testes forem verdadeiros e \mathbf{v},\mathbf{w} não forem colineares entre si, a alternativa é uma representação paramétrica válida.

Passo 3

Testar se o ponto de cada alternativa pertence ao plano, substituindo na equação -2x+5y+7z=3.
  • Alternativa (A), ponto \left(-1,1,-\dfrac{4}{7}\right):
-2\cdot\left(-1\right)+5\cdot 1 +7\cdot\left(-\dfrac{4}{7}\right)=2+5-4=3.
Logo o ponto de (A) pertence ao plano.
  • Alternativa (B), ponto \left(1,-1,\dfrac{10}{7}\right):
-2\cdot 1 +5\cdot\left(-1\right)+7\cdot\left(\dfrac{10}{7}\right)=-2-5+10=3.
O ponto de (B) também pertence ao plano.
  • Alternativa (C), ponto \left(1,-1,-\dfrac{4}{7}\right):
-2\cdot 1 +5\cdot\left(-1\right)+7\cdot\left(-\dfrac{4}{7}\right)=-2-5-4=-11\neq3.
O ponto de (C) NÃO pertence ao plano.
  • Alternativa (D) tem o mesmo ponto de (C), portanto também NÃO pertence ao plano.
  • Alternativa (E), ponto \left(-1,1,-\dfrac{4}{7}\right) é igual ao de (A), já verificamos que pertence ao plano.
  • Alternativa (F) tem o mesmo ponto de (B), que pertence ao plano.
Até aqui, as alternativas com pontos em cima do plano são (A), (B), (E) e (F). As alternativas (C) e (D) já podem ser descartadas.

Passo 4

Agora testar se os vetores diretores de cada alternativa (entre as que passaram no passo anterior) são ortogonais ao normal \mathbf{n}=(-2,5,7). Vou calcular o produto escalar \mathbf{n}\cdot\mathbf{v} e \mathbf{n}\cdot\mathbf{w} para cada caso.
  • Alternativa (A): \mathbf{v}_{A1}=(-21,0,-6), \mathbf{v}_{A2}=(0,-14,10).
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_{A1}=(-2)\cdot(-21)+5\cdot 0 +7\cdot(-6)=42+0-42=0.
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_{A2}=(-2)\cdot 0 +5\cdot(-14)+7\cdot 10=0-70+70=0.
Ambos produtos são zero, logo os dois vetores estão no plano. Além disso \mathbf{v}_{A1} e \mathbf{v}_{A2} não são múltiplos um do outro (um tem componente x não nula e o outro tem x=0), portanto são linearmente independentes. Assim (A) satisfaz todos os requisitos.
  • Alternativa (B): \mathbf{v}_{B1}=(-19,0,-8), \mathbf{v}_{B2}=(0,18,-12).
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_{B1}=(-2)\cdot(-19)+5\cdot 0 +7\cdot(-8)=38+0-56=-18\neq 0.
O primeiro vetor diretor de (B) não é ortogonal ao normal, logo não está contido no plano. Assim (B) é inválida (mesmo tendo o ponto correto).
  • Alternativa (E): \mathbf{v}_{E1}=(-22,0,-5), \mathbf{v}_{E2}=(0,22,-16).
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_{E1}=(-2)\cdot(-22)+5\cdot 0 +7\cdot(-5)=44+0-35=9\neq0.
Portanto \mathbf{v}_{E1} não está no plano; (E) é inválida.
  • Alternativa (F): \mathbf{v}_{F1}=(-22,0,-5), \mathbf{v}_{F2}=(0,22,-16) (mesmos vetores de (E)), já vemos que \mathbf{v}_{F1} não é ortogonal ao normal, então (F) também é inválida.

Passo 5

Resumo das verificações:
  • (A): ponto no plano e ambos vetores diretores satisfazem \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0. Vetores independentes → (A) é válida.
  • (B): ponto OK, mas \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_{B1}\neq 0 → inválida.
  • (C): ponto fora do plano → inválida.
  • (D): ponto fora do plano → inválida.
  • (E): ponto OK, mas \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_{E1}\neq 0 → inválida.
  • (F): ponto OK, mas \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_{F1}\neq 0 → inválida.
Portanto apenas a alternativa (A) satisfaz todos os critérios.

Resposta

(A)

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