Sabendo que o ponto (4,-6,1, k) pertence ao plano (-3,1,1,3)+\operatorname{span}\{(-1,3,-2,3),(3,-2,-1,1)\}, assinale o valor de k :
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
Passo 1
O enunciado dá um plano afim em \mathbb{R}^4 descrito como
e diz que o ponto (4,-6,1,k) pertence a esse plano. As informações relevantes são:
ponto base do plano: (-3,1,1,3);
vetores geradores (da span): (-1,3,-2,3) e (3,-2,-1,1);
ponto candidato: (4,-6,1,k);
pergunta: determinar o valor de k (entre as alternativas dadas).
Passo 2
O que significa "o ponto pertence ao plano \,p_0+\operatorname{span}\{v_1,v_2\}\,"? Significa que existem escalares a e b tais que
(4,-6,1,k)=(-3,1,1,3)+a(-1,3,-2,3)+b(3,-2,-1,1).
Explicando: \operatorname{span}\{v_1,v_2\} é o conjunto de todas as combinações lineares a v_1 + b v_2. Somando o ponto base p_0 obtemos o plano afim formado por esses deslocamentos. Então basta achar a,b que tornem igualidade verdadeira; a coordenada k será determinada por essa igualdade.
Passo 3
Calcular a diferença entre o ponto candidato e o ponto base para obter o vetor que deve ser gerado pela combinação linear:
(4,-6,1,k)-(-3,1,1,3) = (4+3,\,-6-1,\,1-1,\,k-3).
Fazendo as contas coordenada a coordenada:
(4+3, -6-1, 1-1, k-3) = (7,-7,0,k-3).
Passo 4
Igualamos esse vetor à combinação linear a v_1 + b v_2\). Escrevendo as coordenadas:
\[a(-1,3,-2,3)+b(3,-2,-1,1) = (7,-7,0,k-3).
Isso gera um sistema de equações por coordenada:
\begin{cases} -a + 3b = 7,\\[4pt] 3a -2b = -7,\\[4pt] -2a - b = 0,\\[4pt] 3a + b = k-3. \end{cases}
As três primeiras equações envolvem apenas a\] e \(b; a última relaciona a,b com k.]
Passo 5
Resolver as equações para a e b. A terceira equação é simples para isolar b:
-2a - b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -2a.
Agora substituir b=-2a nas outras equações para encontrar a. Usando a primeira equação:
-a + 3b = 7 \quad\Rightarrow\quad -a + 3(-2a) = 7.
Calcular o lado esquerdo:
-a -6a = -7a.
Portanto
-7a = 7 \quad\Rightarrow\quad a = -1.
Passo 6
Com a=-1, obtenha b:
b = -2a = -2(-1) = 2.
Verificação rápida na segunda equação:
3a -2b = 3(-1) -2(2) = -3 -4 = -7,
que coincide com o lado direito -7. Portanto a=-1 e b=2 satisfazem as três primeiras equações.