Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} -7 \\\\ -16 \\\\ -1 \\\\ 12 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -9 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -1 \\\\ -2 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Vou listar claramente os dados (peguei todos estes vetores do enunciado):
  • Primeiro plano: ponto de referência
p=\begin{bmatrix}-7\\\ -16\\\ -1\\\ 12\end{bmatrix}
e geradores
u=\begin{bmatrix}-2\\\ -2\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix},\quad v=\begin{bmatrix}-2\\\ 3\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}.
  • Segundo plano: ponto de referência
q=\begin{bmatrix}2\\\ -9\\\ 2\\\ 4\end{bmatrix}
e geradores
w=\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix},\quad z=\begin{bmatrix}-2\\\ -1\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix}.
O que o problema pede: calcular o ponto \bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) onde esses dois planos se intersectam. A questão final solicita o valor da entrada x_1 (uma das alternativas dadas).

Passo 2

Modo natural de achar a interseção: parametrizar cada plano e impor igualdade. Para parâmetros escalares s,t,a,b temos:
p+s\,u+t\,v \;=\; q+a\,w+b\,z.
Isso gera um sistema linear de 4 equações (uma por coordenada) nas 4 incógnitas s,t,a,b. Vou escrever as equações coordenada a coordenada.

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada (substituindo p,u,v,q,w,z):
1ª coordenada:
-7 + s(-2) + t(-2) \;=\; 2 + a(1) + b(-2).
2ª coordenada:
-16 + s(-2) + t(3) \;=\; -9 + a(1) + b(-1).
3ª coordenada:
-1 + s(1) + t(1) \;=\; 2 + a(1) + b(-2).
4ª coordenada:
12 + s(3) + t(0) \;=\; 4 + a(2) + b(2).
Agora vou simplificar cada uma para obter um sistema linear na forma padrão.

Passo 4

Simplificando cada equação:
Da 1ª:
-7 -2s -2t = 2 + a -2b
\Rightarrow -2s -2t -a +2b = 9.
Da 2ª:
-16 -2s +3t = -9 + a -b
\Rightarrow -2s +3t -a +b = 7.
Da 3ª:
-1 + s + t = 2 + a -2b
\Rightarrow s + t -a +2b = 3.
Da 4ª:
12 +3s = 4 +2a +2b
\Rightarrow 3s -2a -2b = -8.
Portanto o sistema linear em (s,t,a,b) é
\begin{cases} -2s -2t -a +2b = 9,\\[4pt] -2s +3t -a +b = 7,\\[4pt] s + t -a +2b = 3,\\[4pt] 3s -2a -2b = -8. \end{cases}]

Passo 5

Vou resolver por substituição/eliminação. Da terceira equação isolo a:
s + t -a +2b = 3 \quad\Rightarrow\quad a = s + t +2b -3.
Substituo essa expressão de a na quarta equação:
3s -2(s+t+2b-3) -2b = -8.
Calculo passo a passo:
3s -2s -2t -4b +6 -2b = -8
\Rightarrow s -2t -6b +6 = -8
\Rightarrow s -2t -6b = -14.
Chamo essa equação de (A).
Substituo a na primeira equação:
-2s -2t - (s+t+2b-3) +2b = 9
\Rightarrow -2s -2t -s -t -2b +3 +2b = 9
\Rightarrow -3s -3t +3 = 9
\Rightarrow -3s -3t = 6
\Rightarrow s + t = -2.
Chamo essa equação de (B).
Substituo a na segunda equação:
-2s +3t - (s+t+2b-3) + b = 7
\Rightarrow -2s +3t -s -t -2b +3 +b = 7
\Rightarrow -3s +2t -b +3 = 7
\Rightarrow -3s +2t -b = 4.
Chamo essa equação de (C).
Agora uso (B) para eliminar s: de (B) temos s = -2 - t. Substituo em (A) e (C).
Em (A):
s -2t -6b = -14 \quad\Rightarrow\quad (-2 - t) -2t -6b = -14
\Rightarrow -2 -3t -6b = -14
\Rightarrow -3t -6b = -12
\Rightarrow t + 2b = 4.
(Equação (D))
Em (C):
-3s +2t -b = 4 \quad\Rightarrow\quad -3(-2 - t) +2t -b = 4
\Rightarrow 6 +3t +2t -b = 4
\Rightarrow 5t - b = -2
\Rightarrow b = 5t +2.
(Equação (E))
Substituo (E) em (D):
t + 2(5t+2) = 4
t +10t +4 = 4
11t = 0
t = 0.
Com t=0, pela (E) temos
b = 5\cdot 0 +2 = 2.
Com t=0 e (B) s + t = -2 obtemos
s = -2.
E finalmente a = s + t +2b -3 = -2 + 0 + 4 -3 = -1.
Resumo das incógnitas:
s=-2,\quad t=0,\quad a=-1,\quad b=2.

Passo 6

Agora calculo o ponto de interseção usando a parametrização do primeiro plano (ponto p mais combinações de u,v):
p + s\,u + t\,v = \begin{bmatrix}-7\\\ -16\\\ -1\\\ 12\end{bmatrix} +(-2)\begin{bmatrix}-2\\\ -2\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix} +0\begin{bmatrix}-2\\\ 3\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}.
Calculo os termos:
(-2)u = \begin{bmatrix}4\\\ 4\\\ -2\\\ -6\end{bmatrix}.
Somando:
\begin{bmatrix}-7\\\ -16\\\ -1\\\ 12\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}4\\\ 4\\\ -2\\\ -6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3\\\ -12\\\ -3\\\ 6\end{bmatrix}.
Para conferir (checagem rápida) tento também com a parametrização do segundo plano:
q + a\,w + b\,z = \begin{bmatrix}2\\\ -9\\\ 2\\\ 4\end{bmatrix} +(-1)\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix} +2\begin{bmatrix}-2\\\ -1\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3\\\ -12\\\ -3\\\ 6\end{bmatrix},
que coincide com o ponto acima. Portanto a interseção é de fato
\bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr)=\begin{bmatrix}-3\\\ -12\\\ -3\\\ 6\end{bmatrix}.

Resposta

(C) -3

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