Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Vou listar claramente os dados (peguei todos estes vetores do enunciado):
O que o problema pede: calcular o ponto \bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) onde esses dois planos se intersectam. A questão final solicita o valor da entrada x_1 (uma das alternativas dadas).
Passo 2
Modo natural de achar a interseção: parametrizar cada plano e impor igualdade. Para parâmetros escalares s,t,a,b temos:
p+s\,u+t\,v \;=\; q+a\,w+b\,z.
Isso gera um sistema linear de 4 equações (uma por coordenada) nas 4 incógnitas s,t,a,b. Vou escrever as equações coordenada a coordenada.
Passo 3
Escrevendo coordenada a coordenada (substituindo p,u,v,q,w,z):
1ª coordenada:
-7 + s(-2) + t(-2) \;=\; 2 + a(1) + b(-2).
2ª coordenada:
-16 + s(-2) + t(3) \;=\; -9 + a(1) + b(-1).
3ª coordenada:
-1 + s(1) + t(1) \;=\; 2 + a(1) + b(-2).
4ª coordenada:
12 + s(3) + t(0) \;=\; 4 + a(2) + b(2).
Agora vou simplificar cada uma para obter um sistema linear na forma padrão.
Passo 4
Simplificando cada equação:
Da 1ª:
-7 -2s -2t = 2 + a -2b
\Rightarrow -2s -2t -a +2b = 9.
Da 2ª:
-16 -2s +3t = -9 + a -b
\Rightarrow -2s +3t -a +b = 7.
Da 3ª:
-1 + s + t = 2 + a -2b
\Rightarrow s + t -a +2b = 3.
Da 4ª:
12 +3s = 4 +2a +2b
\Rightarrow 3s -2a -2b = -8.
Portanto o sistema linear em (s,t,a,b) é
\begin{cases} -2s -2t -a +2b = 9,\\[4pt] -2s +3t -a +b = 7,\\[4pt] s + t -a +2b = 3,\\[4pt] 3s -2a -2b = -8. \end{cases}]
Passo 5
Vou resolver por substituição/eliminação. Da terceira equação isolo a:
s + t -a +2b = 3 \quad\Rightarrow\quad a = s + t +2b -3.
Substituo essa expressão de a na quarta equação:
3s -2(s+t+2b-3) -2b = -8.
Calculo passo a passo:
3s -2s -2t -4b +6 -2b = -8
\Rightarrow s -2t -6b +6 = -8
\Rightarrow s -2t -6b = -14.
Chamo essa equação de (A).
Substituo a na primeira equação:
-2s -2t - (s+t+2b-3) +2b = 9
\Rightarrow -2s -2t -s -t -2b +3 +2b = 9
\Rightarrow -3s -3t +3 = 9
\Rightarrow -3s -3t = 6
\Rightarrow s + t = -2.
Chamo essa equação de (B).
Substituo a na segunda equação:
-2s +3t - (s+t+2b-3) + b = 7
\Rightarrow -2s +3t -s -t -2b +3 +b = 7
\Rightarrow -3s +2t -b +3 = 7
\Rightarrow -3s +2t -b = 4.
Chamo essa equação de (C).
Agora uso (B) para eliminar s: de (B) temos s = -2 - t. Substituo em (A) e (C).