Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{18}\right) \in \mathbb{R}^{18} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{12} & =x_{15} \\\ x_{10} & =x_{11} \\\ x_{12}-x_{10} & =x_{15}-x_{11} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 3
(B) 4
(C) 14
(D) 17
(E) 18
(F) 15
(G) 2
(H) 16

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S de vetores \left(x_{1},\ldots,x_{18}\right)\in\mathbb{R}^{18} que satisfazem as três igualdades:
\left\{\begin{aligned} x_{12} &= x_{15},\\[4pt] x_{10} &= x_{11},\\[4pt] x_{12}-x_{10} &= x_{15}-x_{11}. \end{aligned}\right.
A pergunta é: qual é a dimensão de S?
Informações relevantes dadas: são três equações lineares homogêneas em 18 incógnitas (as coordenadas x_1,\dots,x_{18}).]

Passo 2

Escrevendo as três condições como equações lineares homogêneas (colocando tudo à esquerda):
\begin{aligned} x_{12}-x_{15} &= 0,\\[4pt] x_{10}-x_{11} &= 0,\\[4pt] x_{12}-x_{10}-x_{15}+x_{11} &= 0. \end{aligned}
Cada uma é uma combinação linear das coordenadas igual a zero; portanto S é o espaço solução (nulo) de um sistema linear homogêneo com 18 variáveis.]

Passo 3

Verificar se as três equações são independentes ou se alguma é combinação linear das outras. Observe que
(x_{12}-x_{15})-(x_{10}-x_{11}) = x_{12}-x_{15}-x_{10}+x_{11},
que é exatamente a terceira equação escrita acima. Logo a terceira equação é igual à diferença da primeira pela segunda; portanto é uma combinação linear das duas primeiras e não traz nova restrição independente.

Passo 4

Concluir o posto (número de equações independentes) do sistema: há exatamente 2 equações lineares independentes (a primeira e a segunda). Para um sistema homogêneo em n variáveis com posto r, a dimensão do espaço solução (o núcleo) é
\dim(\text{núcleo}) = n - r.ú
Aqui n=18 e r=2, então
\dim(S)=18-2=16.

Passo 5

Para entender concretamente como ficam as soluções (útil na prova): escolha como variáveis livres todas exceto as determinadas pelas equações. Por exemplo, tomar livres
x_1,\dots,x_9,\;x_{10},\;x_{12},\;x_{13},x_{14},x_{16},x_{17},x_{18}
(total de 16 variáveis livres). As dependências são
x_{11}=x_{10},\qquad x_{15}=x_{12},
então cada solução é obtida escolhendo arbitrariamente os 16 valores livres e impondo x_{11} e x_{15} iguais aos indicados. Isso mostra explicitamente que existem 16 graus de liberdade nas soluções.

Resposta

(H) 16

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