Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (peguei estes vetores e pontos diretamente do enunciado):
Calcular o ponto \bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr) onde esses dois planos se intersectam.
Em particular, identificar o valor da entrada x_{1} entre as alternativas dadas.
Passo 2
Idéia de resolução (explicando o que é feito): representar cada plano de forma paramétrica usando parâmetros. Explicação rápida: quando se escreve P_1+\operatorname{span}\{u,v\} isso significa todos os pontos da forma
P_1+\alpha u+\beta v,
onde \alpha,\beta\in\mathbb{R}. O mesmo para o outro plano com parâmetros \gamma,\delta. A interseção é um ponto que pode ser escrito nas duas formas; igualando as representações obtemos um sistema linear de 4 equações (uma por coordenada) nas 4 incógnitas \alpha,\beta,\gamma,\delta. Vou montar esse sistema e resolvê‑lo.
Escrevendo parametricamente:
\begin{aligned} &\text{ponto no plano 1:}\quad P_1(\alpha,\beta)=\begin{bmatrix}-3\\\ -25\\\ -9\\\ -12\end{bmatrix} +\alpha\begin{bmatrix}0\\\ 3\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix} +\beta\begin{bmatrix}-1\\\ -2\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix},\\[6pt] &\text{ponto no plano 2:}\quad P_2(\gamma,\delta)=\begin{bmatrix}0\\\ -17\\\ -9\\\ -4\end{bmatrix} +\gamma\begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix} +\delta\begin{bmatrix}0\\\ 3\\\ 3\\\ 2\end{bmatrix}. \end{aligned}]
Passo 3
Igualando as duas expressões para obter as equações coordenada a coordenada: