Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ -25 \\\\ -9 \\\\ -12 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} -1 \\\\ -2 \\\\ -2 \\\\ -2 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ -17 \\\\ -9 \\\\ -4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ -2 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 3 \\\\ 3 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (peguei estes vetores e pontos diretamente do enunciado):
P_1=\begin{bmatrix}-3\\\ -25\\\ -9\\\ -12\end{bmatrix} \qquad u=\begin{bmatrix}0\\\ 3\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix} \qquad v=\begin{bmatrix}-1\\\ -2\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix}
o primeiro plano é
P_1+\operatorname{span}\{u,v\}.
P_2=\begin{bmatrix}0\\\ -17\\\ -9\\\ -4\end{bmatrix} \qquad r=\begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix} \qquad s=\begin{bmatrix}0\\\ 3\\\ 3\\\ 2\end{bmatrix}
o segundo plano é
P_2+\operatorname{span}\{r,s\}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o ponto \bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr) onde esses dois planos se intersectam.
  • Em particular, identificar o valor da entrada x_{1} entre as alternativas dadas.

Passo 2

Idéia de resolução (explicando o que é feito): representar cada plano de forma paramétrica usando parâmetros. Explicação rápida: quando se escreve P_1+\operatorname{span}\{u,v\} isso significa todos os pontos da forma
P_1+\alpha u+\beta v,
onde \alpha,\beta\in\mathbb{R}. O mesmo para o outro plano com parâmetros \gamma,\delta. A interseção é um ponto que pode ser escrito nas duas formas; igualando as representações obtemos um sistema linear de 4 equações (uma por coordenada) nas 4 incógnitas \alpha,\beta,\gamma,\delta. Vou montar esse sistema e resolvê‑lo.
Escrevendo parametricamente:
\begin{aligned} &\text{ponto no plano 1:}\quad P_1(\alpha,\beta)=\begin{bmatrix}-3\\\ -25\\\ -9\\\ -12\end{bmatrix} +\alpha\begin{bmatrix}0\\\ 3\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix} +\beta\begin{bmatrix}-1\\\ -2\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix},\\[6pt] &\text{ponto no plano 2:}\quad P_2(\gamma,\delta)=\begin{bmatrix}0\\\ -17\\\ -9\\\ -4\end{bmatrix} +\gamma\begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix} +\delta\begin{bmatrix}0\\\ 3\\\ 3\\\ 2\end{bmatrix}. \end{aligned}]

Passo 3

Igualando as duas expressões para obter as equações coordenada a coordenada:
P_1(\alpha,\beta)=P_2(\gamma,\delta).
Escrevendo as 4 coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} -3 + 0\alpha -1\beta = 0 + 1\gamma + 0\delta,\\[4pt] -25 + 3\alpha -2\beta = -17 -2\gamma + 3\delta,\\[4pt] -9 -1\alpha -2\beta = -9 -2\gamma + 3\delta,\\[4pt] -12 +1\alpha -2\beta = -4 + 2\gamma + 2\delta. \end{cases}
Vou simplificar cada equação para facilitar a resolução.]

Passo 4

Simplificando a primeira equação (coord. 1):
-3 - \beta = \gamma.
Portanto
\gamma = -3 - \beta.
Isto elimina \gamma das demais equações quando substituído.

Passo 5

Simplificando a terceira equação (coord. 3): os termos -9 em ambos os lados cancelam, então
- \alpha -2\beta = -2\gamma + 3\delta.
Substituindo \gamma = -3 - \beta nessa equação:
- \alpha -2\beta = -2(-3 - \beta) + 3\delta = 6 + 2\beta + 3\delta.
Reorganizando para isolar \alpha:
- \alpha -2\beta -6 -2\beta -3\delta = 0
ou
\alpha +4\beta +6 +3\delta = 0.
Logo
\alpha = -4\beta -6 -3\delta.

Passo 6

Simplificando a quarta equação (coord. 4):
-12 + \alpha -2\beta = -4 + 2\gamma + 2\delta.
Substituindo \gamma = -3 - \beta no lado direito:
-4 + 2(-3 - \beta) + 2\delta = -4 -6 -2\beta +2\delta = -10 -2\beta +2\delta.
Assim a equação torna-se
-12 + \alpha -2\beta = -10 -2\beta +2\delta.
Cancelando -2\beta dos dois lados fica
-12 + \alpha = -10 + 2\delta,
portanto
\alpha = 2 + 2\delta.

Passo 7

Agora igualo as duas expressões obtidas para \alpha (das Passos 5 e 6):
2 + 2\delta = -4\beta -6 -3\delta.
Resolvo essa equação para relacionar \beta e \delta:
4\beta +5\delta +8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{-5\delta -8}{4}.

Passo 8

Ainda não usamos a segunda equação (coord. 2). Vou usá‑la agora para determinar \delta. A segunda equação era
-25 + 3\alpha -2\beta = -17 -2\gamma + 3\delta.
Substituo \gamma = -3 - \beta no lado direito e \alpha por 2+2\delta no lado esquerdo:
esquerda:
-25 + 3(2+2\delta) -2\beta = -25 +6 +6\delta -2\beta = -19 +6\delta -2\beta.
direita (com \gamma):
-17 -2(-3 - \beta) + 3\delta = -17 +6 +2\beta +3\delta = -11 +2\beta +3\delta.
Igualando esquerda e direita:
-19 +6\delta -2\beta = -11 +2\beta +3\delta.
Rearranjando:
-4\beta +3\delta -8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{3\delta -8}{4}.

Passo 9

Temos duas expressões para \beta em função de \delta:
\beta = \frac{-5\delta -8}{4} \qquad\text{e}\qquad \beta = \frac{3\delta -8}{4}.
Igualando-as:
\frac{-5\delta -8}{4} = \frac{3\delta -8}{4}
o que implica
-5\delta -8 = 3\delta -8 \quad\Longrightarrow\quad -5\delta -3\delta = -8 +8 = 0,
daí
8\delta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \delta = 0.

Passo 10

Com \delta=0 calculo as demais incógnitas:
\beta = \frac{3\cdot 0 -8}{4} = -2,
\alpha = 2 + 2\delta = 2 + 0 = 2,
\gamma = -3 - \beta = -3 -(-2) = -1.

Passo 11

Agora obtenho o ponto de interseção substituindo \alpha=2,\beta=-2 em P_1(\alpha,\beta):
P_1(2,-2)=\begin{bmatrix}-3\\\ -25\\\ -9\\\ -12\end{bmatrix} +2\begin{bmatrix}0\\\ 3\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix} +(-2)\begin{bmatrix}-1\\\ -2\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix}.
Calculo coordenada a coordenada (mostrando as contas):
x_1 = -3 + 2\cdot 0 + (-2)\cdot(-1) = -3 + 0 + 2 = -1,
x_2 = -25 + 2\cdot 3 + (-2)\cdot(-2) = -25 +6 +4 = -15,
x_3 = -9 + 2\cdot(-1) + (-2)\cdot(-2) = -9 -2 +4 = -7,
x_4 = -12 + 2\cdot 1 + (-2)\cdot(-2) = -12 +2 +4 = -6.
Portanto o ponto de interseção é
\bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr)=\bigl(-1,-15,-7,-6\bigr).

Passo 12

Conclusão final sobre a entrada pedida: a coordenada x_{1} vale -1, que corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) -1

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