Considere os seguintes polinômios de grau menor ou igual a 2:
  • f0(x)=1 ; f1(x)=x ; f2(x)=x^2
  • g0(x)=1 ; g1(x)=x ; g2(x)=12(3 x^2-1)
Verifique que o polinômio f(x)=3 x^2-x+2=2 f0(x)-1 f1(x)+3 f2(x) é igual a f(x)= 3 g0(x)-1 g1(x)+2 g2(x).

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço dos polinômios de grau <=2 com duas bases diferentes:
a base canônica
f0(x)=1,;f1(x)=x,;f2(x)=x^2
e a base de polinômios associados
g0(x)=1,;g1(x)=x,;g2(x)=tfrac12(3x^2-1).
Ele nos diz que
f(x)=3x^2-x+2
já está escrita na base fi como
f(x)=2f0(x)-1,f1(x)+3,f2(x),
e pede para verificar que essa mesma função pode ser obtida na base gi pela combinação
f(x)=3g0(x)-1,g1(x)+2,g2(x)

Passo 2

Expandindo na base gi, lembramos que
g0(x)=1, g1(x)=x, g2(x)=12(3x^2-1)
Então
2,g2(x)=2cdot12(3x^2-1)=3x^2-1

Passo 3

Agora computamos
3g0(x)-1,g1(x)+2,g2(x) =3cdot1 - x + l(3x^2-1r) =3x^2-x+(3-1) =3x^2-x+2

Passo 4

Como a expansão na base gi também dá
3x^2-x+2,
vemos que
2f0(x)-f1(x)+3f2(x) ;=; 3g0(x)-g1(x)+2g2(x) ;=; f(x)

Resposta

As duas combinações fornecem o mesmo polinômio f(x)=3x^2-x+2, logo
f(x)=2f0(x)-f1(x)+3f2(x) é igual a f(x)=3g0(x)-g1(x)+2g2(x) é

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