Mostre que o operador F: R^3 R^3 dado por F(x, y, z)=(y+z, z, 0), é nilpotente, ou seja, existe uma potência n de F tal que F^n=0, o operador nulo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador linear
Fcolon R^3toR^3, F(x,y,z) = (y+z,;z,;0)
é nilpotente, isto é, existe um inteiro n tal que F^n=0. Para isso, vamos representar F na base canônica por uma matriz e calcular suas potências até obter a matriz nula.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, temos
F(e1) = F(1,0,0) = (0,0,0), F(e2) = F(0,1,0) = (1,0,0), F(e3) = F(0,0,1) = (1,1,0)
Logo, a matriz de F é
M = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

Passo 3

Vamos calcular M^2 e M^3:
M^2 = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
M^3 = M^2,M = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 4

Como M^3=0, segue que F^3 é o operador nulo. Portanto F é nilpotente de ordem 3.

Resposta

O operador F satisfaz F^3=0, logo é nilpotente (de ordem 3).

Exercícios relacionados