Considere os seguintes vetores do R^3 :
  • e1=(1,0,0) ; e2=(0,1,0) ; e3=(0,0,1)
  • v1=(1,0,0) ; v2=(0,1,0) ; v3=(-12, 0, 32)
Verifique que o vetor u=(2,-1,3)=2 e1-1 e2+3 e3 é igual ao vetor 3 v1-1 v2+2 v3.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de R^3: a base canônica e1,e2,e3 e a base v1,v2,v3 com v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=l(-tfrac12,0,tfrac32r). O vetor
u=(2,-1,3)
já está expresso na base canônica como
u=2,e1-1,e2+3,e3
Precisamos mostrar que a mesma \emph{combinação linear} em torno dos vetores vi também gera u, isto é,
3,v1 - 1,v2 + 2,v3 = u

Passo 2

Compute-se a combinação em torno de v1,v2,v3. Primeiro escrevemos cada termo em coordenadas:
3,v1 = 3,(1,0,0) = (3,0,0),
-1,v2 = -1,(0,1,0) = (0,-1,0),
2,v3 = 2l(-tfrac12,0,tfrac32r) = l(-1,0,3r)

Passo 3

Somando as três parcelas coordenada a coordenada, temos
3,v1 - 1,v2 + 2,v3 = (3,0,0)+(0,-1,0)+(-1,0,3)
Logo,
x-coordenada: 3 + 0 - 1 = 2,
y-coordenada: 0 - 1 + 0 = -1,
z-coordenada: 0 + 0 + 3 = 3

Resposta

3,v1 - 1,v2 + 2,v3 = (2,-1,3) = u

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