Considere os seguintes pontos A=(-4,0,-2), B=(1,1,-3), C= (2,1,2) e D=(1,1,-1) em R^3.
(a) Qual é o volume deste paralelepípedo?
(b) O triângulo A B C é um triângulo retângulo. Em qual dos vértices está o ângulo reto?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos
A=(-4,0,-2), B=(1,1,-3), C=(2,1,2), D=(1,1,-1)
em R^3 e pede:
(a) o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores AB,AC,AD, que se obtém pelo valor absoluto do produto misto
V = l|detl[AB,AC,ADr]r| = l|ABcdot(ACtimesAD)r|;
(b) verificar que o triângulo ABC é retângulo e determinar em qual vértice o ângulo é reto, usando produto escalar de vetores que partem desse vértice.

Passo 2

Calcular os vetores
AB = B - A = (1-(-4),,1-0,,-3-(-2)) = (5,1,-1),
AC = C - A = (2-(-4),,1-0,,2-(-2)) = (6,1,4),
AD = D - A = (1-(-4),,1-0,,-1-(-2)) = (5,1,1)

Passo 3

Calcular o produto vetorial
ACtimesAD = i & j & k 6 & 1 & 4 5 & 1 & 1 = (-3,,14,,1)

Passo 4

Agora o produto misto
ABcdot(ACtimesAD) = (5,1,-1)cdot(-3,14,1) = 5cdot(-3) + 1cdot14 + (-1)cdot1 = -15 + 14 -1 = -2
Portanto o volume é
V = l|-2r| = 2

Passo 5

Para achar o ângulo reto em ABC, computamos produtos escalares nos três vértices:
  • Em A, usamos ABcdotAC=5cdot6+1cdot1+(-1)cdot4=27neq0.
  • Em B, usamos BAcdotBC com
    BA = A-B =(-5,-1,1),
    BC=C-B=(1,0,5),
    logo
BAcdotBC = (-5)cdot1 + (-1)cdot0 + 1cdot5 = -5 + 0 + 5 = 0
Produto escalar nulo indica ângulo reto em B.

Resposta

(a) 2
(b) o ângulo reto está em B.

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