Considere o ponto P=(0,1,2) e a reta r:(x, y, z)=(1+t, 2-t, 3 t) (t in R) em R^3.
(a) Mostre que P notin r.
(b) Obtenha uma equação geral não-paramétrica do plano determinado por r e P.

Passo 1

Estamos em R^3 com o ponto P=(0,1,2) e a reta
r:,(x,y,z)=(1+t,;2-t,;3t), tinR
(a) Para mostrar que Pnotin r, basta tentar achar um parâmetro t que leve ao ponto P.
(b) Para obter a equação geral do plano que contém a reta r e o ponto P, vamos usar o vetor diretor de r, um ponto qualquer de r e a operação de produto vetorial para achar a normal do plano.

Passo 2

Suponha que exista t tal que
(1+t,;2-t,;3t) = (0,1,2)
Da primeira coordenada vem 1+t=0, logo t=-1. Mas então a segunda coordenada seria 2-(-1)=3, o que não bate com y=1. Logo não existe t que faça todos os três componentes coincidirem, e portanto
Pnotin r

Passo 3

Escolhemos um ponto base na reta, por exemplo para t=0 temos
Q0 = (1,2,0)
O vetor diretor de r é
v = (1,-1,3),
e o vetor que liga Q0 a P é
w = P - Q0 = (0-1,;1-2,;2-0) = (-1,-1,2)

Passo 4

A normal n do plano é dada pelo produto vetorial vtimesw. Calculando,
n = i & j & k 1 & -1 & 3 -1 & -1 & 2 = (1,-5,-2)

Passo 5

A equação do plano com normal n=(1,-5,-2) que passa por P=(0,1,2) vem de
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0,
isto é,
1,(x-0);-;5,(y-1);-;2,(z-2)=0
e, distribuindo,
x -5y +5 -2z +4 = 0 Longrightarrow x -5y -2z +9 = 0

Resposta

A equação geral do plano determinado por r e P é
x -5y -2z +9 = 0

Exercícios relacionados