Considere o ponto e a reta em .
(a) Mostre que .
(b) Obtenha uma equação geral não-paramétrica do plano determinado por e .
Passo 1
Estamos em com o ponto e a reta
(a) Para mostrar que , basta tentar achar um parâmetro que leve ao ponto .
(b) Para obter a equação geral do plano que contém a reta e o ponto , vamos usar o vetor diretor de , um ponto qualquer de e a operação de produto vetorial para achar a normal do plano.
Passo 2
Suponha que exista tal que
Da primeira coordenada vem , logo . Mas então a segunda coordenada seria , o que não bate com . Logo não existe que faça todos os três componentes coincidirem, e portanto
Passo 3
Escolhemos um ponto base na reta, por exemplo para temos
O vetor diretor de é
e o vetor que liga a é
Passo 4
A normal do plano é dada pelo produto vetorial . Calculando,
Passo 5
A equação do plano com normal n=(1,-5,-2) que passa por P=(0,1,2) vem de
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0,
isto é,
1,(x-0);-;5,(y-1);-;2,(z-2)=0
e, distribuindo,
x -5y +5 -2z +4 = 0 Longrightarrow x -5y -2z +9 = 0