Determine as coordenadas do vetor (3,-2,1) do R^3 em relação a base (1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1)

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do vetor (3,-2,1)inR^3 em relação à base
(1,1,1),,(1,0,1),,(1,0,-1). Esse é um problema de combinação linear: devemos achar escalares a,b,c tais que a combinação desses vetores iguale (3,-2,1).

Passo 2

Escrevendo a combinação e igualando cada coordenada, temos
a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(1,0,-1) = (3,-2,1),
o que leva ao sistema
a + b + c = 3, a = -2, a + b - c = 1

Passo 3

Da segunda equação já vemos que
a = -2

Passo 4

Substituindo a=-2 nas outras duas equações obtemos
-2 + b + c = 3 e -2 + b - c = 1,
ou seja,
b + c = 5, b - c = 3

Passo 5

Somando as duas equações,
(b + c) + (b - c) = 5 + 3 Longrightarrow 2b = 8 Longrightarrow b = 4
Em seguida, de b+c=5 vem
c = 5 - b = 5 - 4 = 1

Resposta

As coordenadas de (3,-2,1) na base dada são l(-2,,4,,1r).

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