Considere os seguintes pontos A=(-1,0,2), B=(0,3,-2) e C= (1,2,-2) em R^3.
(a) Encontre o quarto ponto D tal que A B C D forme um paralelograma de lados A B e A C.
(b) Qual é a área deste paralelograma?
(c) Encontre uma equação do plano que contém os pontos A, B e C.

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos em R^3
A = (-1,0,2), B = (0,3,-2), C = (1,2,-2)
e pede:
a) o quarto ponto D de modo que ABCD seja um paralelogramo de lados AB e AC,
b) a área desse paralelogramo,
c) a equação do plano que contém A,B,C.
Vamos usar soma vetorial, produto vetorial (para área e normal) e a forma ncdot(X-A)=0 da equação de um plano.

Passo 2

Calculamos os vetores AB e AC subtraindo coordenadas:
AB = B - A = (0 - (-1),,3 - 0,,-2 - 2) = (1,,3,,-4)
AC = C - A = (1 - (-1),,2 - 0,,-2 - 2) = (2,,2,,-4)

Passo 3

Num paralelogramo de vértice A e lados AB, AC, o quarto vértice é
D = A + l(AB + ACr)
que equivale a
D = A + (1,3,-4) + (2,2,-4) = (-1,0,2) + (3,5,-8) = (2,,5,,-6)

Passo 4

A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial ABtimesAC. Primeiro o determinante:
ABtimesAC = i & j & k 1 & 3 & -4 2 & 2 & -4 = (-4,,-4,,-4)
O módulo vale
l|ABtimesACr| = raiz(-4)^2+(-4)^2+(-4)^2 = raiz48 = 4raiz3

Passo 5

Para a equação do plano, escolhemos a normal
n = ABtimesAC = (-4,-4,-4)
Podemos simplificar para n=(1,1,1) (multiplicando por -tfrac14). A forma vetorial do plano é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0,
ou seja
(1,1,1)cdotl((x,y,z)-(-1,0,2)r) = 0
Longrightarrow (x+1)+y+(z-2)=0
Longrightarrow x+y+z-1=0

Resposta

a) D=(2,5,-6)
b) Área =4raiz3
c) Equação do plano: x+y+z-1=0

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