Considere os seguintes pontos e em .
(a) Encontre o quarto ponto tal que forme um paralelograma de lados e .
(b) Qual é a área deste paralelograma?
(c) Encontre uma equação do plano que contém os pontos e .
Passo 1
O enunciado nos dá os pontos em
e pede:
a) o quarto ponto de modo que seja um paralelogramo de lados e AC,
b) a área desse paralelogramo,
c) a equação do plano que contém A,B,C.
Vamos usar soma vetorial, produto vetorial (para área e normal) e a forma ncdot(X-A)=0 da equação de um plano.
Passo 2
Calculamos os vetores AB e AC subtraindo coordenadas:
AB = B - A = (0 - (-1),,3 - 0,,-2 - 2) = (1,,3,,-4)
AC = C - A = (1 - (-1),,2 - 0,,-2 - 2) = (2,,2,,-4)
Passo 3
Num paralelogramo de vértice A e lados AB, AC, o quarto vértice é
D = A + l(AB + ACr)
que equivale a
D = A + (1,3,-4) + (2,2,-4) = (-1,0,2) + (3,5,-8) = (2,,5,,-6)
Passo 4
A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial ABtimesAC. Primeiro o determinante:
ABtimesAC = i & j & k 1 & 3 & -4 2 & 2 & -4 = (-4,,-4,,-4)