Considere os seguintes pontos no plano cartesiano: (-1,0),(0,1),(1,3),(2,9).
Determine a função quadrática y=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que melhor se ajusta a estes pontos (minimiza erro quadrático).
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função quadrática que melhor se ajusta (minimiza o erro quadrático) aos pontos (-1,0), (0,1), (1,3), (2,9).
Dados fornecidos (os quatro pontos):
(x_1,y_1)=(-1,0)
(x_2,y_2)=(0,1)
(x_3,y_3)=(1,3)
(x_4,y_4)=(2,9)
O que se quer: encontrar os coeficientes a_0,a_1,a_2 da função
y = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2}
que minimizam a soma dos quadrados dos erros entre os valores observados y_i e os valores preditos pela parábola.
Passo 2
Ideia do método (intuição didática): como há 4 pontos e apenas 3 coeficientes, geralmente não existe uma parábola que passe por todos os pontos; então escolhemos os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos
Esse é o método dos mínimos quadrados lineares. Ele leva a um sistema linear para (a_0,a_1,a_2) chamado de equações normais. Para manipular isso de forma organizada, escrevemos o sistema em forma matricial X a = y, onde