Considere os seguintes pontos no plano cartesiano: (-1,0),(0,1),(1,3),(2,9).
Determine a função quadrática y=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que melhor se ajusta a estes pontos (minimiza erro quadrático).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função quadrática que melhor se ajusta (minimiza o erro quadrático) aos pontos (-1,0), (0,1), (1,3), (2,9).
Dados fornecidos (os quatro pontos):
  • (x_1,y_1)=(-1,0)
  • (x_2,y_2)=(0,1)
  • (x_3,y_3)=(1,3)
  • (x_4,y_4)=(2,9)
O que se quer: encontrar os coeficientes a_0,a_1,a_2 da função
y = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2}
que minimizam a soma dos quadrados dos erros entre os valores observados y_i e os valores preditos pela parábola.

Passo 2

Ideia do método (intuição didática): como há 4 pontos e apenas 3 coeficientes, geralmente não existe uma parábola que passe por todos os pontos; então escolhemos os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos
S(a_0,a_1,a_2)=\sum_{i=1}^{4}\bigl(y_i-(a_0+a_1 x_i+a_2 x_i^2)\bigr)^2.
Esse é o método dos mínimos quadrados lineares. Ele leva a um sistema linear para (a_0,a_1,a_2) chamado de equações normais. Para manipular isso de forma organizada, escrevemos o sistema em forma matricial X a = y, onde
X=\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\[4pt] 1 & x_2 & x_2^2\\[4pt] 1 & x_3 & x_3^2\\[4pt] 1 & x_4 & x_4^2 \end{pmatrix},\qquad a=\begin{pmatrix}a_0\\[4pt]a_1\\[4pt]a_2\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}y_1\\[4pt]y_2\\[4pt]y_3\\[4pt]y_4\end{pmatrix}.
As equações normais são
X^{T}X\,a = X^{T}y,
que resulta num sistema 3\times3 para a_0,a_1,a_2. Agora vamos construir X^{T}X e X^{T}y numericamente usando os pontos.]

Passo 3

Calcular somas necessárias (vou mostrar passo a passo cada soma usando os pontos dados):
  • número de pontos: n=4.
  • \sum x_i = (-1)+0+1+2 = 2.
  • \sum x_i^2 = (-1)^2+0^2+1^2+2^2 = 1+0+1+4 = 6.
  • \sum x_i^3 = (-1)^3+0^3+1^3+2^3 = -1+0+1+8 = 8.
  • \sum x_i^4 = (-1)^4+0^4+1^4+2^4 = 1+0+1+16 = 18.
  • \sum y_i = 0+1+3+9 = 13.
  • \sum x_i y_i = (-1)\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot3 + 2\cdot9 = 0+0+3+18 = 21.
  • \sum x_i^2 y_i = (-1)^2\cdot0 + 0^2\cdot1 + 1^2\cdot3 + 2^2\cdot9 = 0+0+3+36 = 39.
Essas somas aparecem nas entradas de X^{T}X e X^{T}y.

Passo 4

Montar as equações normais com os números obtidos. A matriz X^{T}X e o vetor X^{T}y ficam:
X^{T}X = \begin{pmatrix} n & \sum x_i & \sum x_i^2\\[6pt] \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\[6pt] \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6\\[4pt] 2 & 6 & 8\\[4pt] 6 & 8 & 18 \end{pmatrix}, \qquad X^{T}y = \begin{pmatrix} \sum y_i\\[4pt] \sum x_i y_i\\[4pt] \sum x_i^2 y_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13\\[4pt] 21\\[4pt] 39 \end{pmatrix}.
Portanto as equações normais são
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 6\\[4pt] 2 & 6 & 8\\[4pt] 6 & 8 & 18 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0\\[4pt]a_1\\[4pt]a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}13\\[4pt]21\\[4pt]39\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver o sistema linear. Escrevo as três equações explicitamente:
\begin{cases} 4a_0 + 2a_1 + 6a_2 = 13,\\[4pt] 2a_0 + 6a_1 + 8a_2 = 21,\\[4pt] 6a_0 + 8a_1 +18a_2 = 39. \end{cases}
Vamos eliminar a_0 passo a passo (método de eliminação, bem mastigado):
Divido a primeira equação por 2 para facilitar combinações:
2a_0 + a_1 + 3a_2 = 6{,}5.
Subtraio essa equação da segunda (para eliminar a_0 entre eq.2 e metade da eq.1):
(2a_0+6a_1+8a_2) - (2a_0 + a_1 + 3a_2) = 21 - 6{,}5,
o que dá
5a_1 + 5a_2 = 14{,}5.
Divide-se por 5:
a_1 + a_2 = 2{,}9. \tag{E1}
Agora elimino a_0 entre a terceira e 1{,}5 vezes a primeira (porque 1{,}5\cdot 4 =6):
Multiplico a primeira por 1{,}5:
6a_0 + 3a_1 + 9a_2 = 19{,}5.
Subtraio essa da terceira:
(6a_0+8a_1+18a_2) - (6a_0+3a_1+9a_2) = 39 - 19{,}5,
o que dá
5a_1 + 9a_2 = 19{,}5. \tag{E2}
Agora resolvo o sistema formado por (E1) e (E2). Substituo a_1 = 2{,}9 - a_2 em (E2):
5(2{,}9 - a_2) + 9a_2 = 19{,}5.
Calculo:
14{,}5 - 5a_2 + 9a_2 = 19{,}5 \quad\Rightarrow\quad 14{,}5 + 4a_2 = 19{,}5.
Assim
4a_2 = 5 \quad\Rightarrow\quad a_2 = 1{,}25.
Com a_2 encontrado, de (E1):
a_1 = 2{,}9 - 1{,}25 = 1{,}65.
Finalmente, achamos a_0 usando a primeira equação original:
4a_0 + 2a_1 + 6a_2 = 13.
Substituindo a_1=1{,}65 e a_2=1{,}25:
4a_0 + 2(1{,}65) + 6(1{,}25) = 13 \quad\Rightarrow\quad 4a_0 + 3{,}3 + 7{,}5 = 13.
Logo
4a_0 + 10{,}8 = 13 \quad\Rightarrow\quad 4a_0 = 2{,}2 \quad\Rightarrow\quad a_0 = 0{,}55.]

Passo 6

Expressar os coeficientes em frações exatas (opcional, para clareza):
a_0 = 0{,}55 = \frac{11}{20},\qquad a_1 = 1{,}65 = \frac{33}{20},\qquad a_2 = 1{,}25 = \frac{5}{4} = \frac{25}{20}.
Uma forma compacta para a parábola é multiplicar por 20:
y = \frac{11 + 33x + 25x^2}{20}.

Resposta

y=\dfrac{11}{20}+\dfrac{33}{20}x+\dfrac{5}{4}x^{2}

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