Considere os seguintes pontos no plano cartesiano: (-1,0),(0,1),(1,3),(2,9).
Determine a função cúbica y=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} que melhor se ajusta a estes pontos (minimiza erro quadrático). Qual o erro neste caso?
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos no plano cartesiano e pede a função cúbica que minimiza o erro quadrático (ajuste pelo método dos mínimos quadrados) e o valor desse erro. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Pontos dados:
(-1,0)
(0,1)
(1,3)
(2,9)
A função procurada tem a forma
y = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3},
em que a_{0},a_{1},a_{2},a_{3} são os coeficientes a determinar.
O que é pedido:
Determinar os coeficientes a_{0},a_{1},a_{2},a_{3} que minimizam o erro quadrático em relação aos quatro pontos.
Calcular o erro (soma dos quadrados dos resíduos) nesse ajuste.
Passo 2
Breve aula: ideia dos mínimos quadrados e por que aqui o ajuste pode ser exato.
Método dos mínimos quadrados: com um modelo linear em coeficientes (como a soma de potências de x), montamos o sistema \mathbf{A}\mathbf{a}\approx \mathbf{y}, em que cada linha de \mathbf{A} é [1\; x\; x^{2}\; x^{3}] para um ponto; \mathbf{a} = (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})^{T} e \mathbf{y} contém os valores y. O ajuste pelos mínimos quadrados resolve as equações normais
Observação importante para este problema: há exatamente quatro pontos e o polinômio cúbico também tem quatro coeficientes. Nesse caso, se a matriz de Vandermonde (a matriz \mathbf{A}) for invertível, existe um polinômio cúbico que passa exatamente pelos quatro pontos — isto é, os resíduos serão todos zero e o ajuste pelos mínimos quadrados coincide com a interpolação. Portanto vale a pena tentar resolver diretamente o sistema linear exato
\mathbf{A}\mathbf{a}=\mathbf{y},
onde cada ponto gera uma equação linear nos coeficientes.
Passo 3
Montar as equações lineares usando cada ponto. Para cada ponto (x_i,y_i) a equação é
a_{0}+a_{1}x_i+a_{2}x_i^{2}+a_{3}x_i^{3}=y_i.
Escrevendo uma equação para cada ponto dado:
Para (-1,0):
a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} = 0.
Para (0,1):
a_{0} = 1.
Para (1,3):
a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3.
Para (2,9):
a_{0} + 2a_{1} + 4a_{2} + 8a_{3} = 9.
Passo 4
Usar imediatamente a equação simples a_{0}=1 (vinda do ponto em x=0) para simplificar as outras três equações.
Substituindo a_{0}=1 nas demais:
De (-1,0):
1 - a_{1} + a_{2} - a_{3} = 0
que é equivalente a
-a_{1} + a_{2} - a_{3} = -1.
De (1,3):
1 + a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3
que é equivalente a
a_{1} + a_{2} + a_{3} = 2.
De (2,9):
1 + 2a_{1} + 4a_{2} + 8a_{3} = 9
que é equivalente a
2a_{1} + 4a_{2} + 8a_{3} = 8.
Podemos simplificar dividindo por 2:
a_{1} + 2a_{2} + 4a_{3} = 4.
Agora temos o sistema de três equações em a_{1},a_{2},a_{3}:
y = 1+2+\tfrac{1}{2}\cdot 4 + \tfrac{1}{2}\cdot 8 = 1+2+2+4=9.
Todos os valores coincidem com os dados, portanto todos os resíduos são zero.
Passo 9
Cálculo do erro (soma dos quadrados dos resíduos). Como cada ponto é exatamente interpolado, cada resíduo r_{i}=y_{i}-\hat{y}_{i}=0. Logo a soma dos quadrados dos resíduos é
\sum_{i=1}^{4} r_{i}^{2} = 0.
Interpretação final: o ajuste por mínimos quadrados deu exatamente a interpolação porque o número de pontos é igual ao número de coeficientes e a matriz do sistema é invertível (Vandermonde não degenerada para abscissas distintas).
Resposta
y = 1 + x + \tfrac{1}{2}x^{2} + \tfrac{1}{2}x^{3}
Erro (soma dos quadrados dos resíduos) = 0