Considere as seguintes regiões: região
, região
e região
. Elas têm constantes dielétricas, respectivamente, de 1,2 e 3 . Determine:
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve entender como os campos elétricos e de deslocamento se comportam em diferentes regiões com constantes dielétricas distintas. As regiões são divididas em três:
- Região 1: $ x < 0 $ com constante dielétrica 1
- Região 2: $ 0 < x < 0,1 $ com constante dielétrica 2
- Região 3: $ x > 0,1 $ com constante dielétrica 3
Você precisa determinar os vetores de deslocamento elétrico $ \mathbf{D}_3 $ e o campo elétrico $ \mathbf{E}_3 $ na Região 3, sabendo que na Região 1 o campo elétrico é $ \mathbf{E}_1 = \hat{a}_x + 2\hat{a}_y + 3\hat{a}_z $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrodinâmica relacionados a materiais dielétricos e às relações entre $ \mathbf{D} $ e $ \mathbf{E} $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a relação entre o vetor de deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $ e o campo elétrico $ \mathbf{E} $ em um material dielétrico. Essa relação é dada por:
onde $ \varepsilon $ é a constante dielétrica do material. Se o material for linear e isotrópico, então $ \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r $, sendo $ \varepsilon_0 $ a permissividade do vácuo e $ \varepsilon_r $ a constante dielétrica relativa.
No nosso caso, as constantes dielétricas são dadas diretamente:
- $ \varepsilon_1 = \varepsilon_0 \cdot 1 $ (Região 1)
- $ \varepsilon_2 = \varepsilon_0 \cdot 2 $ (Região 2)
- $ \varepsilon_3 = \varepsilon_0 \cdot 3 $ (Região 3)
Passo 3
Sabemos que na Região 1 ($ x < 0 $), o campo elétrico é:
Vamos calcular o vetor de deslocamento elétrico nessa região usando a relação $ \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} $:
Passo 4
Para encontrar $ \mathbf{D}_3 $ e $ \mathbf{E}_3 $, precisamos analisar como o vetor de deslocamento elétrico se comporta nas diferentes regiões. Na interface entre duas regiões dielétricas sem cargas livres, o vetor de deslocamento elétrico perpendicular à interface deve ser contínuo. No nosso caso, vamos assumir que o deslocamento elétrico é contínuo em todas as regiões, ou seja:
Isso significa que o vetor $ \mathbf{D} $ na Região 3 será igual ao da Região 1, já que todas as constantes dielétricas são multiplicadas por $ \varepsilon_0 $.
Passo 5
Já que $ \mathbf{D}_1 = \varepsilon_0 (\hat{a}_x + 2\hat{a}_y + 3\hat{a}_z) $, então:
Passo 6
Agora, para encontrar o campo elétrico $ \mathbf{E}_3 $ na Região 3, usamos novamente a relação $ \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} $. Rearranjando, temos:
Na Região 3, $ \varepsilon_3 = \varepsilon_0 \cdot 3 $, então:
Resposta
Portanto, na Região 3:
e