Considere os seguintes resultados de uma regressão:
Em que Y: taxa de participação das mulheres na força de trabalho em 1972 e X: taxa de participação das mulheres na força de trabalho em 1968. A regressão foi feita com uma amostra de 19 cidades americanas.
a) Como você interpreta esta regressão?
b) Teste as hipóteses
e
. Qual teste você usa? Por quê? Quais são as premissas que embasam o(s) teste(s) usado(s)?
c) Suponha que a taxa de participação das mulheres na força de trabalho em 1968 tenha sido de 0,58 (ou 58%). Com base nos resultados da regressão anterior, qual a taxa média de participação das mulheres em 1972? Adote um intervalo de confiança de 95% para prever a média.
d) Como você testaria a hipótese de que o termo de erro na regressão da população se distribui normalmente? Mostre os cálculos necessários.
a) Como você interpreta esta regressão?
b) Teste as hipóteses
c) Suponha que a taxa de participação das mulheres na força de trabalho em 1968 tenha sido de 0,58 (ou 58%). Com base nos resultados da regressão anterior, qual a taxa média de participação das mulheres em 1972? Adote um intervalo de confiança de 95% para prever a média.
d) Como você testaria a hipótese de que o termo de erro na regressão da população se distribui normalmente? Mostre os cálculos necessários.
Passo 1
O enunciado nos dá os resultados da regressão linear simples com
cidades:
os erros-padrão dos coeficientes entre parênteses:
ou seja,
e
.
Também são informados
Também são informados
As perguntas são:
a) interpretar a regressão (o que significam intercepto, inclinação, , etc.);
b) testar versus
— indicar que teste, justificar e listar premissas;
c) para (58%), prever a média de
e construir intervalo de confiança de
para a média prevista;
d) como testar se o termo de erro da população é normalmente distribuído — mostrar cálculos necessários.
a) interpretar a regressão (o que significam intercepto, inclinação,
b) testar
c) para
d) como testar se o termo de erro da população é normalmente distribuído — mostrar cálculos necessários.
Passo 2
Interpretação (parte a), passo a passo e intuitiva.
- O modelo e o que cada coeficiente quer dizer.
- A equação
significa que a previsão (média estimada) da taxa de participação das mulheres em 1972 é dada por essa soma. - O intercepto
é o valor previsto de quando . Em contexto prático, (participação em 1968 igual a ) é improvável, então o intercepto serve principalmente como parâmetro de ajuste; interpretar literalmente só faz sentido se for plausível. - A inclinação
diz o efeito marginal de sobre : se a participação em 1968 aumentar em uma unidade (ou seja, em — no caso, de 0,00 para 1,00, isto é 100 pontos percentuais), a participação prevista em 1972 aumenta, em média, . Mais prático: um aumento de ponto percentual em (ou seja, em unidades) aumenta em (0,656 pontos percentuais).
- Ajuste do modelo.
-
significa que cerca de da variação observada em (entre as 19 cidades) é explicada linearmente por . O restante ( ) é variação não explicada pelo modelo (outros fatores, erro, etc.).
- Significância dos coeficientes (teste rápido, útil na interpretação).
- Teste t para
:
Com
, esse
dá
-valor pequeno (dois-lados) — portanto a inclinação é estatisticamente significativa, mostrando associação positiva entre
e
.
- Teste t para
:
que é marginalmente significativo ao nível de
(p ≈ 0,05), ou seja, o intercepto está no limite da significância.
Comentário de contexto (estilo amigo): resumindo — cidades com maior participação feminina em 1968 tendem a ter maior participação em 1972; a relação é positiva e estatisticamente significativa, mas o modelo explica menos da metade da variabilidade (R^2 moderado), então há muito mais além de
.
Passo 3
Teste pedido (parte b): escolha do teste e cálculo.
- Qual teste usar e por quê.
- Queremos testar uma hipótese sobre um coeficiente
em uma regressão OLS com variância desconhecida. O teste apropriado em amostra pequena é o teste t de Student para coeficiente: usamos a estatística
onde
é o valor sob
. Esse teste segue uma distribuição t com
graus de liberdade sob as premissas clássicas (ver abaixo). Escolhe-se t porque usamos a estimativa da variância do erro (não conhecida), então a razão tem distribuição t e não normal exata quando a amostra é pequena.
- Premissas que embasam o teste t (as “premissas clássicas” — explicar de forma simples):
- Modelo linear correto:
(a relação verdadeira é linear na forma assumida). - Exogeneidade:
(os erros têm média zero condicionada a ; em linguagem prática, não há correlação entre e o termo de erro). - Homocedasticidade:
(variância constante dos erros). - Independência entre observações (ou, no mínimo, ausência de autocorrelação relevante).
- Normalidade dos erros
se se deseja inferência exata em amostras pequenas (se a amostra fosse grande, o TCL permitiria aproximar por normal, relaxando a normalidade exata).
- Cálculo do
para contra .
- Estatística:
- Graus de liberdade:
. - Região crítica (teste unilateral à direita, nível usual
): rejeitar se . O valor crítico é . - Comparação:
é muito menor que (na verdade é negativo), logo não caímos na região de rejeição ao testar . -
-value (unilateral): como é negativo, o -value unilateral é grande; numericamente, a probabilidade de observar ≥ sob é aproximadamente . O -value bilateral seria . Em qualquer caso, não há evidência para rejeitar em favor de .
Conclusão objetiva: com os dados disponíveis não rejeitamos
em favor de
(na verdade
, então não há suporte para a hipótese de que a inclinação seja maior que 1).
Passo 4
Detalhamento didático das fórmulas e por que usamos elas (para que você saiba aplicar na prova).
- Estatística t para um coeficiente:
-
é o coeficiente estimado (aqui ). -
é o valor hipotético sob (aqui ). -
é o erro-padrão estimado do coeficiente (aqui ). - A razão mede quantos desvios-padrão a estimativa está afastada do valor sob
. Se esse afastamento for grande (no sentido da distribuição t), rejeita-se .
- Como obter
na prova (fórmula básica):
onde
e SSE é a soma dos quadrados dos resíduos. (Mostro uso destas fórmulas na parte c.)
Passo 5
Previsão para
e intervalo de confiança para a média (parte c), com todos os passos de cálculo explicados.
- Previsão pontual da média condicional.
Interpretação: a taxa média prevista de participação em 1972, entre cidades com
, é
(58,38%).
- Precisão da previsão — precisamos do erro-padrão da previsão da média. Fórmula:
Para usar essa fórmula precisamos de
,
e
. Esses não foram dados diretamente, mas podemos recuperá-los a partir dos valores informados (
e
e SSE). Vou mostrar passo a passo como calcular.
- Calcular
a partir de SSE:
- Calcular
a partir de .
- Calcular
a partir de . A fórmula do erro-padrão do intercepto é
Isolando
:
Substituindo números:
(Interpretação: a participação média em 1968 na amostra é cerca de
— 49,5%.)
- Calcular
.
- Intervalo de confiança de
para a média condicional.
- Valor crítico
. - Margem de erro:
. - Intervalo:
Interpretação prática: a previsão da taxa média de participação das mulheres em 1972 para cidades com
é
, com intervalo de confiança de
para a média entre aproximadamente
e
.
Passo 6
Teste de normalidade dos erros (parte d): método, fórmulas e observação sobre impossibilidade de calcular numericamente sem os resíduos.
- Como testar a normalidade do termo de erro populacional — opções práticas:
- Testes formais: Shapiro–Wilk, Jarque–Bera (JB), Kolmogorov–Smirnov (com ajustes), Anderson–Darling.
- Diagnósticos gráficos: gráfico QQ-plot (probability plot) dos resíduos, histograma dos resíduos com curva normal sobreposta.
- Fórmula e passos do teste Jarque–Bera (muito usado e fácil de explicar):
- Calcular resíduos estimados
para cada . - Calcular a assimetria amostral (skewness)
e curtose amostral das observações , usando (uma forma usada no JB):
- Estatística Jarque–Bera:
Sob a hipótese nula de normalidade,
(qui-quadrado com 2 graus de liberdade) para amostras grandes; para amostras pequenas o teste ainda é usado mas com cuidado.
- O que eu faria com os dados que tenho:
- Calcularia todos os resíduos
(necessário ter os dados e individuais). - Computaria
e pelas fórmulas acima e, em seguida, JB. - Compararia JB com o quantil
para (ou usaria o -value). Se rejeita-se normalidade a 5%.
- Observação importante / limite prático para este exercício:
- Não é possível calcular numericamente o teste de normalidade (nem JB, nem Shapiro–Wilk) porque o enunciado não fornece os resíduos individuais
nem os pares . Com apenas os coeficientes, erros-padrão, SSE e não se obtêm e . Portanto não há como apresentar um valor de JB ou o -value sem os dados originais. - Em suma: o procedimento e as fórmulas acima mostram exatamente “os cálculos necessários”; para aplicá-los de fato é preciso os resíduos da amostra. Se for entregue a base (os 19 pares), eu calculo JB ou executo Shapiro–Wilk e apresento o resultado e decisão.
Passo 7
Resumo final (breve e motivador): a regressão mostra relação positiva e significativa entre participação feminina em 1968 e 1972; o teste de
não rejeita
em favor de
; a previsão para
é
com IC de
para a média
; e para testar normalidade é preciso usar JB ou Shapiro–Wilk aplicados aos resíduos — não foi possível calcular numericamente por falta dos resíduos.
Resposta
a) A regressão indica que, em média, quanto maior a participação feminina em 1968, maior a participação em 1972:
. A inclinação
significa que um aumento de
ponto percentual em
(ou seja,
em unidades) aumenta
em
.
indica que
da variabilidade de
é explicada por
. A inclinação é estatisticamente significativa (
).
b) Usa-se o teste para um coeficiente:
com
. Comparando com
(teste unilateral à direita), não rejeita-se
(o
observado é negativo). Premissas: linearidade do modelo,
, homocedasticidade, independência das observações e normalidade dos erros para inferência exata em amostra pequena.
c) Para :
. Erro-padrão da média prevista
. IC
para a média:
.
d) Testaria normalidade dos resíduos com Jarque–Bera (ou Shapiro–Wilk): calcular resíduos , obter assimetria
e curtose
e computar
, comparar com
. Não é possível calcular numericamente aqui porque os resíduos individuais (ou os dados
) não foram fornecidos.
b) Usa-se o teste
c) Para
d) Testaria normalidade dos resíduos com Jarque–Bera (ou Shapiro–Wilk): calcular resíduos