Considere os seguintes resultados de uma regressão:
\begin{gathered} \hat{Y}_{i}=0,2033+0,6560 X_{-} i \\\ d p=(0,0976)+(0,1961) \\\ r^{2}=0,397 \quad S Q R=0,544 \quad S Q E=0,0358 \end{gathered}
Em que Y: taxa de participação das mulheres na força de trabalho em 1972 e X: taxa de participação das mulheres na força de trabalho em 1968. A regressão foi feita com uma amostra de 19 cidades americanas.
a) Como você interpreta esta regressão?
b) Teste as hipóteses H_{0}: \beta_{2}=1 e H_{1}: \beta_{2}>1. Qual teste você usa? Por quê? Quais são as premissas que embasam o(s) teste(s) usado(s)?
c) Suponha que a taxa de participação das mulheres na força de trabalho em 1968 tenha sido de 0,58 (ou 58%). Com base nos resultados da regressão anterior, qual a taxa média de participação das mulheres em 1972? Adote um intervalo de confiança de 95% para prever a média.
d) Como você testaria a hipótese de que o termo de erro na regressão da população se distribui normalmente? Mostre os cálculos necessários.

Passo 1

O enunciado nos dá os resultados da regressão linear simples com n=19 cidades:
\hat{Y}_{i}=0,2033+0,6560\,X_{i}
os erros-padrão dos coeficientes entre parênteses:
\text{dp}=(0,0976)\; (0,1961)
ou seja, \operatorname{se}(\hat\beta_{0})=0,0976 e \operatorname{se}(\hat\beta_{1})=0,1961.
Também são informados
r^{2}=0,397,\qquad S Q R=0,544,\qquad S Q E=0,0358.
As perguntas são:
a) interpretar a regressão (o que significam intercepto, inclinação, R^{2}, etc.);
b) testar H_{0}:\beta_{2}=1 versus H_{1}:\beta_{2}>1 — indicar que teste, justificar e listar premissas;
c) para X=0,58 (58%), prever a média de Y e construir intervalo de confiança de 95\% para a média prevista;
d) como testar se o termo de erro da população é normalmente distribuído — mostrar cálculos necessários.

Passo 2

Interpretação (parte a), passo a passo e intuitiva.
  1. O modelo e o que cada coeficiente quer dizer.
  • A equação \hat{Y}=0,2033+0,6560\,X significa que a previsão (média estimada) da taxa de participação das mulheres em 1972 é dada por essa soma.
  • O intercepto \hat\beta_{0}=0,2033 é o valor previsto de Y quando X=0. Em contexto prático, X=0 (participação em 1968 igual a 0) é improvável, então o intercepto serve principalmente como parâmetro de ajuste; interpretar literalmente só faz sentido se X=0 for plausível.
  • A inclinação \hat\beta_{1}=0,6560 diz o efeito marginal de X sobre Y: se a participação em 1968 aumentar em uma unidade (ou seja, em 1,00 — no caso, de 0,00 para 1,00, isto é 100 pontos percentuais), a participação prevista em 1972 aumenta, em média, 0,6560. Mais prático: um aumento de 1 ponto percentual em X (ou seja, 0,01 em unidades) aumenta \hat Y em 0,6560\times0,01=0,00656 (0,656 pontos percentuais).
  1. Ajuste do modelo.
  • R^{2}=0,397 significa que cerca de 39,7\% da variação observada em Y (entre as 19 cidades) é explicada linearmente por X. O restante ( \approx60{,}3\%) é variação não explicada pelo modelo (outros fatores, erro, etc.).
  1. Significância dos coeficientes (teste rápido, útil na interpretação).
  • Teste t para \beta_{1}=0:
t_{\beta_{1}}=\frac{0,6560-0}{0,1961}\approx3,346.
Com df=n-2=17, esse t p-valor pequeno (dois-lados) — portanto a inclinação é estatisticamente significativa, mostrando associação positiva entre X e Y.
  • Teste t para \beta_{0}=0:
t_{\beta_{0}}=\frac{0,2033}{0,0976}\approx2,084,
que é marginalmente significativo ao nível de 5\% (p ≈ 0,05), ou seja, o intercepto está no limite da significância.
Comentário de contexto (estilo amigo): resumindo — cidades com maior participação feminina em 1968 tendem a ter maior participação em 1972; a relação é positiva e estatisticamente significativa, mas o modelo explica menos da metade da variabilidade (R^2 moderado), então há muito mais além de X.

Passo 3

Teste pedido (parte b): escolha do teste e cálculo.
  1. Qual teste usar e por quê.
  • Queremos testar uma hipótese sobre um coeficiente \beta_{1} em uma regressão OLS com variância desconhecida. O teste apropriado em amostra pequena é o teste t de Student para coeficiente: usamos a estatística
t=\frac{\hat\beta_{1}-\beta_{1,0}}{\operatorname{se}(\hat\beta_{1})},
onde \beta_{1,0} é o valor sob H_{0}. Esse teste segue uma distribuição t com n-2 graus de liberdade sob as premissas clássicas (ver abaixo). Escolhe-se t porque usamos a estimativa da variância do erro (não conhecida), então a razão tem distribuição t e não normal exata quando a amostra é pequena.
  1. Premissas que embasam o teste t (as “premissas clássicas” — explicar de forma simples):
  • Modelo linear correto: \,Y_i=\beta_0+\beta_1 X_i+u_i\, (a relação verdadeira é linear na forma assumida).
  • Exogeneidade: \mathbb{E}[u_i\mid X_i]=0 (os erros têm média zero condicionada a X; em linguagem prática, não há correlação entre X e o termo de erro).
  • Homocedasticidade: \operatorname{Var}(u_i\mid X_i)=\sigma^2 (variância constante dos erros).
  • Independência entre observações (ou, no mínimo, ausência de autocorrelação relevante).
  • Normalidade dos erros u_i\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) se se deseja inferência exata em amostras pequenas (se a amostra fosse grande, o TCL permitiria aproximar por normal, relaxando a normalidade exata).
  1. Cálculo do t para H_{0}:\beta_{1}=1 contra H_{1}:\beta_{1}>1.
  • Estatística:
t=\frac{\hat\beta_{1}-1}{\operatorname{se}(\hat\beta_{1})}=\frac{0,6560-1}{0,1961}=\frac{-0,3440}{0,1961}\approx-1,754.
  • Graus de liberdade: df=n-2=17.
  • Região crítica (teste unilateral à direita, nível usual \alpha=0{,}05): rejeitar H_{0} se t>t_{0{,}95,17}. O valor crítico é t_{0{,}95,17}\approx1,740.
  • Comparação: t_{\text{obs}}\approx-1,754 é muito menor que 1,740 (na verdade é negativo), logo não caímos na região de rejeição ao testar H_{1}:\beta_{1}>1.
  • p-value (unilateral): como t_{\text{obs}} é negativo, o p-value unilateral é grande; numericamente, a probabilidade de observar t -1{,}754 sob H_{0} é aproximadamente 0{,}95. O p-value bilateral seria \approx0{,}096. Em qualquer caso, não há evidência para rejeitar H_{0} em favor de \beta_{1}>1.
Conclusão objetiva: com os dados disponíveis não rejeitamos H_{0}:\beta_{1}=1 em favor de H_{1}:\beta_{1}>1 (na verdade \hat\beta_{1}<1, então não há suporte para a hipótese de que a inclinação seja maior que 1).

Passo 4

Detalhamento didático das fórmulas e por que usamos elas (para que você saiba aplicar na prova).
  1. Estatística t para um coeficiente:
t=\frac{\hat\beta_{j}-\beta_{j,0}}{\operatorname{se}(\hat\beta_{j})}.
  • \hat\beta_{j} é o coeficiente estimado (aqui 0,6560).
  • \beta_{j,0} é o valor hipotético sob H_{0} (aqui 1).
  • \operatorname{se}(\hat\beta_{j}) é o erro-padrão estimado do coeficiente (aqui 0,1961).
  • A razão mede quantos desvios-padrão a estimativa está afastada do valor sob H_{0}. Se esse afastamento for grande (no sentido da distribuição t), rejeita-se H_{0}.
  1. Como obter \operatorname{se}(\hat\beta_{1}) na prova (fórmula básica):
\operatorname{se}(\hat\beta_{1})=\frac{s}{\sqrt{S_{xx}}}, \qquad s=\sqrt{\frac{\text{SSE}}{n-2}},
onde S_{xx}=\sum_{i}(X_{i}-\bar X)^{2} e SSE é a soma dos quadrados dos resíduos. (Mostro uso destas fórmulas na parte c.)

Passo 5

Previsão para X=0,58 e intervalo de confiança para a média (parte c), com todos os passos de cálculo explicados.
  1. Previsão pontual da média condicional.
\hat{Y}(x_{0})=\hat\beta_{0}+\hat\beta_{1}x_{0}=0,2033+0,6560\times0,58=0,58378\approx0,5838.
Interpretação: a taxa média prevista de participação em 1972, entre cidades com X=0,58, é \approx0,5838 (58,38%).
  1. Precisão da previsão — precisamos do erro-padrão da previsão da média. Fórmula:
\operatorname{se}\big(\hat{Y}(x_{0})\big)=s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_{0}-\bar X)^{2}}{S_{xx}}}.
Para usar essa fórmula precisamos de s, S_{xx} e \bar X. Esses não foram dados diretamente, mas podemos recuperá-los a partir dos valores informados ( \operatorname{se}(\hat\beta_{1}) e \operatorname{se}(\hat\beta_{0}) e SSE). Vou mostrar passo a passo como calcular.
  1. Calcular s a partir de SSE:
s=\sqrt{\frac{\text{SSE}}{n-2}}=\sqrt{\frac{0,0358}{19-2}}=\sqrt{\frac{0,0358}{17}}=\sqrt{0,0021059}\approx0,04590.
  1. Calcular S_{xx} a partir de \operatorname{se}(\hat\beta_{1}).
\operatorname{se}(\hat\beta_{1})=\frac{s}{\sqrt{S_{xx}}} \quad\Rightarrow\quad S_{xx}=\left(\frac{s}{\operatorname{se}(\hat\beta_{1})}\right)^{2}=\left(\frac{0,04590}{0,1961}\right)^{2}\approx0,05480.
  1. Calcular \bar X a partir de \operatorname{se}(\hat\beta_{0}). A fórmula do erro-padrão do intercepto é
\operatorname{se}(\hat\beta_{0})=s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\bar X^{2}}{S_{xx}}}.
Isolando \bar X:
\frac{\operatorname{se}(\hat\beta_{0})^{2}}{s^{2}}=\frac{1}{n}+\frac{\bar X^{2}}{S_{xx}} \quad\Rightarrow\quad \bar X^{2}=S_{xx}\left(\frac{\operatorname{se}(\hat\beta_{0})^{2}}{s^{2}}-\frac{1}{n}\right).
Substituindo números:
\frac{0,0976^{2}}{0,04590^{2}}\approx4,526, \quad\frac{1}{n}=\frac{1}{19}\approx0,05263,
\bar X^{2}=0,05480\cdot(4,526-0,05263)\approx0,05480\cdot4,4734\approx0,2450,
\bar X\approx\sqrt{0,2450}\approx0,4950.
(Interpretação: a participação média em 1968 na amostra é cerca de 0,495 — 49,5%.)
  1. Calcular \operatorname{se}(\hat{Y}(0,58)).
x_{0}-\bar X=0,58-0,4950=0,0850,
\frac{(x_{0}-\bar X)^{2}}{S_{xx}}=\frac{0,0850^{2}}{0,05480}\approx0,1319,
\frac{1}{n}+\frac{(x_{0}-\bar X)^{2}}{S_{xx}}=0,05263+0,1319\approx0,1845,
\operatorname{se}\big(\hat{Y}(0,58)\big)=0,04590\sqrt{0,1845}\approx0,04590\times0,4295\approx0,01972.
  1. Intervalo de confiança de 95\% para a média condicional.
  • Valor crítico t_{0{,}975,\,17}\approx2,1098.
  • Margem de erro: 2,1098\times0,01972\approx0,0416.
  • Intervalo:
\hat{Y}(0,58)\pm t_{0{,}975,17}\,\operatorname{se}\big(\hat{Y}(0,58)\big)
0,58378\pm0,0416\;\Rightarrow\;[0,5422,\;0,6254].
Interpretação prática: a previsão da taxa média de participação das mulheres em 1972 para cidades com X=58\% é \approx58{,}38\%, com intervalo de confiança de 95\% para a média entre aproximadamente 54{,}22\% e 62{,}54\%.

Passo 6

Teste de normalidade dos erros (parte d): método, fórmulas e observação sobre impossibilidade de calcular numericamente sem os resíduos.
  1. Como testar a normalidade do termo de erro populacional — opções práticas:
  • Testes formais: Shapiro–Wilk, Jarque–Bera (JB), Kolmogorov–Smirnov (com ajustes), Anderson–Darling.
  • Diagnósticos gráficos: gráfico QQ-plot (probability plot) dos resíduos, histograma dos resíduos com curva normal sobreposta.
  1. Fórmula e passos do teste Jarque–Bera (muito usado e fácil de explicar):
  • Calcular resíduos estimados \hat u_{i}=Y_{i}-\hat Y_{i} para cada i.
  • Calcular a assimetria amostral (skewness) S e curtose amostral K das observações \hat u_{i}, usando (uma forma usada no JB):
S=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\hat u_{i}-\bar{\hat u})^{3}}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\hat u_{i}-\bar{\hat u})^{2}\right)^{3/2}},
K=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\hat u_{i}-\bar{\hat u})^{4}}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\hat u_{i}-\bar{\hat u})^{2}\right)^{2}}.
  • Estatística Jarque–Bera:
\text{JB}=\frac{n}{6}\left(S^{2}+\frac{(K-3)^{2}}{4}\right).
Sob a hipótese nula de normalidade, \text{JB}\xrightarrow{d}\chi^{2}_{2} (qui-quadrado com 2 graus de liberdade) para amostras grandes; para amostras pequenas o teste ainda é usado mas com cuidado.
  1. O que eu faria com os dados que tenho:
  • Calcularia todos os resíduos \hat u_{i} (necessário ter os dados Y_{i} e X_{i} individuais).
  • Computaria S e K pelas fórmulas acima e, em seguida, JB.
  • Compararia JB com o quantil \chi^{2}_{2,\,0{,}95}=5,991 para \alpha=0{,}05 (ou usaria o p-value). Se \text{JB}>5{,}991 rejeita-se normalidade a 5%.
  1. Observação importante / limite prático para este exercício:
  • Não é possível calcular numericamente o teste de normalidade (nem JB, nem Shapiro–Wilk) porque o enunciado não fornece os resíduos individuais \hat u_{i} nem os pares (X_{i},Y_{i}). Com apenas os coeficientes, erros-padrão, SSE e R^{2} não se obtêm S e K. Portanto não há como apresentar um valor de JB ou o p-value sem os dados originais.
  • Em suma: o procedimento e as fórmulas acima mostram exatamente “os cálculos necessários”; para aplicá-los de fato é preciso os resíduos da amostra. Se for entregue a base (os 19 pares), eu calculo JB ou executo Shapiro–Wilk e apresento o resultado e decisão.

Passo 7

Resumo final (breve e motivador): a regressão mostra relação positiva e significativa entre participação feminina em 1968 e 1972; o teste de H_{0}:\beta_{1}=1 não rejeita H_{0} em favor de \beta_{1}>1; a previsão para X=0,58 é \approx0,5838 com IC de 95\% para a média [0,5422,\;0,6254]; e para testar normalidade é preciso usar JB ou Shapiro–Wilk aplicados aos resíduos — não foi possível calcular numericamente por falta dos resíduos.

Resposta

a) A regressão indica que, em média, quanto maior a participação feminina em 1968, maior a participação em 1972: \hat{Y}=0,2033+0,6560X. A inclinação 0,6560 significa que um aumento de 1 ponto percentual em X (ou seja, 0,01 em unidades) aumenta Y em 0,00656. R^{2}=0,397 indica que 39{,}7\% da variabilidade de Y é explicada por X. A inclinação é estatisticamente significativa ( t\approx3,346).
b) Usa-se o teste t para um coeficiente: t=\dfrac{\hat\beta_{1}-1}{\operatorname{se}(\hat\beta_{1})}=\dfrac{0,6560-1}{0,1961}\approx-1,754 com df=17. Comparando com t_{0{,}95,17}\approx1,740 (teste unilateral à direita), não rejeita-se H_{0} (o t observado é negativo). Premissas: linearidade do modelo, \mathbb{E}[u\mid X]=0, homocedasticidade, independência das observações e normalidade dos erros para inferência exata em amostra pequena.
c) Para X=0,58: \hat{Y}=0,2033+0,6560\times0,58\approx0,58378. Erro-padrão da média prevista \approx0,01972. IC 95\% para a média: [0,5422,\;0,6254].
d) Testaria normalidade dos resíduos com Jarque–Bera (ou Shapiro–Wilk): calcular resíduos \hat u_{i}, obter assimetria S e curtose K e computar \mathrm{JB}=\dfrac{n}{6}\big(S^{2}+\tfrac{(K-3)^{2}}{4}\big), comparar com \chi^{2}_{2}. Não é possível calcular numericamente aqui porque os resíduos individuais (ou os dados (X_{i},Y_{i})) não foram fornecidos.

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