Considere as seguintes retas:
c t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l x+2 y-z=7
E os planos
alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
alpha e beta
Caso as retas sejam reversas, determine os pontos nas retas que realizam a distância entre as retas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações de planos, chamadas α e β. Nosso objetivo é descobrir como esses planos estão posicionados entre si (se são paralelos, coincidentes ou se intersectam), qual é o ângulo entre eles e, se forem paralelos, qual é a distância entre eles. Para resolver isso, vamos precisar entender os vetores normais dos planos e usar algumas fórmulas de geometria espacial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. A equação geral de um plano é Ax + By + Cz = D, onde o vetor normal é n = (A, B, C).
Para o plano α: 2x - y + z = 1, o vetor normal é nalpha = (2, -1, 1).
Para o plano β: -y + 3z = 4, que podemos reescrever como 0x - y + 3z = 4, então o vetor normal é nbeta = (0, -1, 3).

Passo 3

Agora, vamos determinar a posição relativa dos planos. Dois planos podem ser paralelos, coincidentes ou intersectar-se em uma reta.
Para verificar se são paralelos, devemos ver se os vetores normais são múltiplos um do outro. Se nalpha é múltiplo de nbeta, os planos são paralelos.
Vamos comparar:
nalpha = (2, -1, 1) e nbeta = (0, -1, 3)
Vemos que não existe um número k tal que 2 = 0 cdot k, então os vetores normais não são múltiplos. Portanto, os planos não são paralelos e se intersectam.

Passo 4

Como os planos se intersectam, vamos encontrar o ângulo entre eles. O ângulo theta entre dois planos pode ser encontrado usando a fórmula:
cos theta = nalpha cdot nbeta|nalpha| cdot |nbeta|
Primeiro, calculamos o produto escalar nalpha cdot nbeta:
nalpha cdot nbeta = (2)(0) + (-1)(-1) + (1)(3) = 0 + 1 + 3 = 4
Agora, calculamos as normas dos vetores:
|nalpha| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
|nbeta| = raiz0^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz0 + 1 + 9 = raiz10
Então,
cos theta = 4raiz6 cdot raiz10 = 4raiz60 = 42raiz15 = 2raiz15 approx 0,516
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(2raiz15) approx 59,04^circ

Resposta

Os planos α e β não são paralelos e se intersectam formando um ângulo de aproximadamente 59,04^circ. Como eles se interceptam, a distância entre eles é zero.

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