Encontre a velocidade e a aceleração nos seguintes casos e ache as unidades das constantes
,
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a velocidade e a aceleração de uma função posição dada por $ x(t) = \beta \sin(\alpha t) $. Além disso, precisamos descobrir as unidades das constantes
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, e também entender as unidades físicas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade $ v(t) $, derivamos $ x(t) $ em relação a $ t $:
Passo 3
Calculando a derivada de $ x(t) = \beta \sin(\alpha t) $:
Aqui usamos a regra da derivada da função seno, que é $ \frac{d}{dt} \sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dt} $. No nosso caso, $ u = \alpha t $, e $ \frac{du}{dt} = \alpha $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração $ a(t) $, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo ou a segunda derivada da posição:
Passo 5
Derivando $ v(t) = \beta \alpha \cos(\alpha t) $:
Aqui usamos a regra da derivada da função cosseno, que é $ \frac{d}{dt} \cos(u) = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dt} $.
Passo 6
Agora, vamos determinar as unidades das constantes
,
e
.
-
$ x(t) $ representa uma posição, então suas unidades são de comprimento, por exemplo, metros (m).
-
A função $ \sin(\alpha t) $ precisa ter um argumento dimensionless (sem unidade), então:
-
$ \beta $ multiplica a função seno e deve ter as mesmas unidades de $ x(t) $:
-
A constante
não está presente na função original, mas geralmente representa aceleração, então suas unidades são de:
Resposta
A velocidade é $ v(t) = \beta \alpha \cos(\alpha t) $, a aceleração é $ a(t) = -\beta \alpha^2 \sin(\alpha t) $, e as unidades das constantes são: