Encontre a velocidade e a aceleração nos seguintes casos e ache as unidades das constantes alpha, beta e gamma
x(t)=betasin(alpha t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a velocidade e a aceleração de uma função posição dada por $ x(t) = \beta \sin(\alpha t) $. Além disso, precisamos descobrir as unidades das constantes x(t) = beta sin(alpha t) , alpha e beta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, e também entender as unidades físicas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade $ v(t) $, derivamos $ x(t) $ em relação a $ t $:
v(t)

Passo 3

Calculando a derivada de $ x(t) = \beta \sin(\alpha t) $:
x(t) = beta sin(alpha t)
Aqui usamos a regra da derivada da função seno, que é $ \frac{d}{dt} \sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dt} $. No nosso caso, $ u = \alpha t $, e $ \frac{du}{dt} = \alpha $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração $ a(t) $, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo ou a segunda derivada da posição:
a(t)

Passo 5

Derivando $ v(t) = \beta \alpha \cos(\alpha t) $:
v(t) = beta alpha cos(alpha t)
Aqui usamos a regra da derivada da função cosseno, que é $ \frac{d}{dt} \cos(u) = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dt} $.

Passo 6

Agora, vamos determinar as unidades das constantes alpha, beta e gamma.
  • $ x(t) $ representa uma posição, então suas unidades são de comprimento, por exemplo, metros (m).
  • A função $ \sin(\alpha t) $ precisa ter um argumento dimensionless (sem unidade), então:
    x(t) ã
  • $ \beta $ multiplica a função seno e deve ter as mesmas unidades de $ x(t) $:
    sin(alpha t)
  • A constante alpha t deve ser sem dimensão Rightarrow [alpha] = 1tempo Rightarrow s^-1 não está presente na função original, mas geralmente representa aceleração, então suas unidades são de:
    beta

Resposta

A velocidade é $ v(t) = \beta \alpha \cos(\alpha t) $, a aceleração é $ a(t) = -\beta \alpha^2 \sin(\alpha t) $, e as unidades das constantes são:
  • v(t) = beta alpha cos(alpha t)
  • a(t) = -beta alpha^2 sin(alpha t)
  • [alpha] = s^-1

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