Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
(d) alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda e m
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas m e s definidas pelas seguintes equações:
m:l x=1-t y=2+t z=3
s:l x + y = 3 z = 2
O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente a análise da posição relativa entre duas retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar:
Identificar as equações paramétricas das retas.
Verificar se as retas são paralelas, coincidentes, ou se são retas secantes ou retomadas (skew lines).
Calcular o ângulo entre elas.
Determinar a distância mínima entre as retas caso elas sejam retomadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas m e s de forma mais clara.
Para a reta m, já temos a representação paramétrica:
x = 1 - t y = 2 + t z = 3
Aqui, t é o parâmetro real. A direção da reta m é dada pelo vetor direção u:
u = (-1, 1, 0)
Para a reta s, temos:
x + y = 3 z = 2
Para encontrar a representação paramétrica de s, vamos expressar uma das variáveis em função de um parâmetro. Vamos deixar x ser s e resolver para y:
y = 3 - x
Então, podemos definir o parâmetro s para x:
x = s y = 3 - s z = 2
O vetor direção da reta s é v:
v = (1, -1, 0)
Passo 3
Agora, vamos analisar a posição relativa entre as retas m e s. Existem três possibilidades:
Retas Paralelas: se os vetores direção são múltiplos um do outro.
Retas Coincidentes: se são paralelas e possuem pelo menos um ponto em comum.
Retas Secantes ou Retomadas (Skew Lines): se não são paralelas e não se cruzam.
Primeiro, vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, vemos se os vetores direção são múltiplos:
u = (-1, 1, 0) v = (1, -1, 0)
Observamos que:
u = -1 cdot v
Portanto, as retas m e s são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas coincidem, ou seja, se possuem algum ponto em comum. Para isso, igualamos as equações paramétricas:
1 - t = s 2 + t = 3 - s 3 = 2
A última equação, 3 = 2, é uma contradição, o que significa que não existe nenhum ponto comum entre as retas. Portanto, as retas m e s são paralelas e distintas.
Passo 4
Como as retas são paralelas e não coincidentes, vamos calcular a distância entre elas. A fórmula para a distância entre duas retas paralelas é:
d = |w cdot n||n|
Onde:
w é um vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta.
n é o vetor normal às retas (mesmo que as retas sejam paralelas, usamos o mesmo vetor direção).
cdot representa o produto escalar.
Vamos escolher um ponto em cada reta. Por exemplo:
Como as retas são paralelas, o vetor normal n pode ser escolhido como perpendicular ao vetor direção. No entanto, uma abordagem mais simples para retas paralelas é considerar a componente de w que é perpendicular ao vetor direção.