Considere as seguintes retas:
E os planos
t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l x+2 y-z=7
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
(d) alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda e m

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas m e s definidas pelas seguintes equações:
m:l x=1-t y=2+t z=3
s:l x + y = 3 z = 2
O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente a análise da posição relativa entre duas retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Identificar as equações paramétricas das retas.
  2. Verificar se as retas são paralelas, coincidentes, ou se são retas secantes ou retomadas (skew lines).
  3. Calcular o ângulo entre elas.
  4. Determinar a distância mínima entre as retas caso elas sejam retomadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas m e s de forma mais clara.
Para a reta m, já temos a representação paramétrica:
x = 1 - t y = 2 + t z = 3
Aqui, t é o parâmetro real. A direção da reta m é dada pelo vetor direção u:
u = (-1, 1, 0)
Para a reta s, temos:
x + y = 3 z = 2
Para encontrar a representação paramétrica de s, vamos expressar uma das variáveis em função de um parâmetro. Vamos deixar x ser s e resolver para y:
y = 3 - x
Então, podemos definir o parâmetro s para x:
x = s y = 3 - s z = 2
O vetor direção da reta s é v:
v = (1, -1, 0)

Passo 3

Agora, vamos analisar a posição relativa entre as retas m e s. Existem três possibilidades:
  1. Retas Paralelas: se os vetores direção são múltiplos um do outro.
  2. Retas Coincidentes: se são paralelas e possuem pelo menos um ponto em comum.
  3. Retas Secantes ou Retomadas (Skew Lines): se não são paralelas e não se cruzam.
Primeiro, vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, vemos se os vetores direção são múltiplos:
u = (-1, 1, 0) v = (1, -1, 0)
Observamos que:
u = -1 cdot v
Portanto, as retas m e s são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas coincidem, ou seja, se possuem algum ponto em comum. Para isso, igualamos as equações paramétricas:
1 - t = s 2 + t = 3 - s 3 = 2
A última equação, 3 = 2, é uma contradição, o que significa que não existe nenhum ponto comum entre as retas. Portanto, as retas m e s são paralelas e distintas.

Passo 4

Como as retas são paralelas e não coincidentes, vamos calcular a distância entre elas. A fórmula para a distância entre duas retas paralelas é:
d = |w cdot n||n|
Onde:
  • w é um vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta.
  • n é o vetor normal às retas (mesmo que as retas sejam paralelas, usamos o mesmo vetor direção).
  • cdot representa o produto escalar.
Vamos escolher um ponto em cada reta. Por exemplo:
  • Na reta m, para t = 0: P₁ = (1, 2, 3)
  • Na reta s, para s = 0: P₂ = (0, 3, 2)
O vetor w que liga P₁ a P₂ é:
w = P₂ - P₁ = (0 - 1, 3 - 2, 2 - 3) = (-1, 1, -1)
O vetor direção comum das retas é u = (-1, 1, 0).
Como as retas são paralelas, o vetor normal n pode ser escolhido como perpendicular ao vetor direção. No entanto, uma abordagem mais simples para retas paralelas é considerar a componente de w que é perpendicular ao vetor direção.
A distância entre as retas paralelas é dada por:
d = |u times w||u|
Onde times representa o produto vetorial.
Calculando o produto vetorial u times w:
u times w = i & j & k -1 & 1 & 0 -1 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 0 cdot 1) - j(-1 cdot (-1) - 0 cdot (-1)) + k(-1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) = i(-1) - j(1) + k(0) = (-1, -1, 0)
Calculando o módulo do produto vetorial:
|u times w| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 = raiz2
O módulo do vetor direção u é:
|u| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Portanto, a distância d é:
d = raiz2raiz2 = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo entre as duas retas. Mesmo que as retas sejam paralelas, vamos demonstrar o cálculo.
A fórmula para o ângulo theta entre duas retas com vetores direção u e v é dada por:
costheta = u cdot v|u| cdot |v|
Calculando o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (-1)(1) + (1)(-1) + (0)(0) = -1 -1 + 0 = -2
Os módulos já calculamos:
|u| = raiz2 |v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Portanto:
costheta = -2raiz2 cdot raiz2 = -22 = -1
O que nos dá:
theta = cos^-1(-1) = 180^circ
Isso confirma que as retas são paralelas e estão na mesma linha de direção, mas em sentidos opostos.

Resposta

As retas m e s são paralelas e distintas, formando um ângulo de 180^circ entre si. A distância mínima entre elas é de 1 unidade.

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