Considere as seguintes sentenças sobre o comportamento de uma onda eletromagnética estacionária entre dois espelhos planos ideais e paralelos entre si:
I) O campo elétrico total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos;
II) O campo magnético total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos.
Escolha uma opção:
◯ a. Todas as alternativas são verdadeiras.
◯ b. Nenhuma alternativa é verdadeira.
◯ c. Apenas a alternativa ll é verdadeira.
◯ d. Apenas a alternativa I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede que eu diga quais das duas afirmações sobre uma onda eletromagnética estacionária entre dois espelhos planos ideais e paralelos são verdadeiras:
I) O campo elétrico total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos;
II) O campo magnético total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
  • Os espelhos são condutores ideais (perfeito condutor).
  • Há uma onda eletromagnética estacionária no intervalo entre os espelhos.
  • A pergunta é sobre o valor dos campos (elétrico e magnético) “nas paredes condutoras dos espelhos” (isto é, no plano da superfície condutora).

Passo 2

Relembrando as condições de contorno gerais em uma interface condutor-vácuo (a teoria que vamos usar).
Primeiro, precisamos entender componentes normais e tangenciais de um campo num plano de superfície. Para um plano com normal unitário \hat n:
  • A componente tangencial de um vetor \mathbf{A} é \mathbf{A}_\parallel = \mathbf{A} - (\hat n\cdot\mathbf{A})\hat n.
  • A componente normal é \mathbf{A}_\perp = (\hat n\cdot\mathbf{A})\hat n.
As condições de contorno de Maxwell (forma útil aqui) na superfície de um condutor perfeito são:
  • A componente tangencial do campo elétrico é nula na superfície: \mathbf{E}_\parallel(\text{superfície}) = \mathbf{0}.íIsso decorre do fato de que cargas livres na superfície se rearranjam de modo a anular qualquer campo elétrico tangencial (caso contrário haveria força tangencial e corrente infinita num condutor ideal).
  • A normal do campo elétrico pode ser diferente de zero na superfície; de fato pode existir uma descontinuidade relacionada à densidade superficial de carga \sigma_s: \hat n\cdot\big(\mathbf{E}_{\text{fora}}-\mathbf{E}_{\text{dentro}}\big)=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}.Para condutor perfeito no regime em que o campo dentro é zero, isso permite \hat n\cdot\mathbf{E}_{\text{fora}}=\sigma_s/\varepsilon_0\neq0.
  • Para o campo magnético, a condição que vem de \nabla\cdot\mathbf{B}=0 (sem monopolos magnéticos) é que a componente normal de \mathbf{B} seja contínua: \hat n\cdot\big(\mathbf{B}_{\text{fora}}-\mathbf{B}_{\text{dentro}}\big)=0.Se dentro do condutor ideal o campo magnético for nulo (hipótese usual para condutor perfeito em regime estacionário de ondas internas), então \hat n\cdot\mathbf{B}_{\text{fora}}=0,ou seja, a componente normal de \mathbf{B} na superfície é zero.
  • Quanto à componente tangencial do campo magnético \mathbf{H} (ou \mathbf{B} via \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}), existe a possibilidade de uma corrente superficial \mathbf{K}_s que gera uma descontinuidade: \hat n\times\big(\mathbf{H}_{\text{fora}}-\mathbf{H}_{\text{dentro}}\big)=\mathbf{K}_s.Para condutor perfeito pode haver corrente superficial \mathbf{K}_s ajustando-se para satisfazer as equações; portanto a componente tangencial de \mathbf{B} (via \mathbf{H}) não precisa ser zero na superfície.
Resumo prático (para condutor perfeito, em linguagem direta):
  • \mathbf{E}_\parallel=0 na superfície (tangencial do elétrico = zero).
  • \hat n\cdot\mathbf{B}=0 na superfície (normal do magnético = zero).
  • \mathbf{E}_\perp pode ser diferente de zero (depende de carga superficial).
  • \mathbf{B}_\parallel pode ser diferente de zero (depende de corrente superficial).

Passo 3

Aplicando essas condições ao enunciado:
A afirmação I diz que “o campo elétrico total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos.”
  • Pela condição que encontramos, apenas a componente tangencial de \mathbf{E} é necessariamente zero na superfície do condutor. A componente normal de \mathbf{E} pode ser não nula (ela é ligada à densidade superficial de cargas \sigma_s pela relação \hat n\cdot\mathbf{E}=\sigma_s/\varepsilon_0 quando o campo dentro do condutor é zero).
  • Portanto a afirmação I, interpretada como “o vetor elétrico total \mathbf{E} (todas as suas componentes) é identicamente zero na superfície”, é falsa em geral. Em certos modos particulares (por exemplo um modo em que \mathbf{E} é puramente tangencial e tem zero naquela posição) pode ocorrer que \mathbf{E}=\mathbf{0} em pontos da superfície, mas isso não é uma regra geral exigida pelas condições de contorno. Logo I é incorreta como afirmação universal.
A afirmação II diz que “o campo magnético total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos.”
  • Da discussão, a componente normal de \mathbf{B} é zero na superfície, mas a componente tangencial de \mathbf{B} em geral não é zero (pode haver correntes superficiais que mantêm o campo magnético tangencial não nulo). Portanto o vetor \mathbf{B} total não precisa ser zero na superfície — normalmente sua componente tangencial é diferente de zero. Assim II também é falsa como afirmação universal.

Passo 4

Para tornar mais concreto, construo um exemplo simples de onda estacionária entre dois espelhos paralelos no plano z=0 e z=L. Considere uma polarização em que o campo elétrico aponta na direção \hat x e a onda se propaga ao longo de z. Somando onda progressiva e regressiva obtém-se um campo estacionário:
\mathbf{E}(z,t)=E_0\sin(kz)\cos(\omega t)\,\hat x.
A partir das relações de onda eletromagnética no vácuo (para ondas planas) a componente magnética associada (direção \hat y) é, até constantes de fase,
\mathbf{B}(z,t)=\frac{E_0}{c}\cos(kz)\sin(\omega t)\,\hat y.
Agora avalio os campos nas superfícies condutoras z=0 e z=L:
  • Em z=0: \mathbf{E}(0,t)=E_0\sin(0)\cos(\omega t)\,\hat x=\mathbf{0}. Já \mathbf{B}(0,t)=\dfrac{E_0}{c}\cos(0)\sin(\omega t)\,\hat y=\dfrac{E_0}{c}\sin(\omega t)\,\hat y, que em geral é não nulo. Ou seja, aqui o campo elétrico (neste modo) é zero na superfície, mas o magnético não é.
  • Em z=L: para que \mathbf{E}(L,t)=0 seja satisfeito precisamos que \sin(kL)=0, isto é kL=n\pi (condição padrão de ressonância). Mesmo assim, \mathbf{B}(L,t)\propto\cos(kL) não necessariamente é zero (na verdade para kL=n\pi temos \cos(kL)=\pm1, então \mathbf{B}(L,t) é tipicamente não nulo).
Esse exemplo ilustra de forma clara que:
  • a componente \mathbf{E}_\parallel é forçada a zero nas superfícies (aqui \mathbf{E} era tangencial e realmente nula nas paredes), mas não obriga \mathbf{E}_\perp ser zero em geral;
  • o campo magnético \mathbf{B} geralmente tem componente tangencial não nula na superfície.

Passo 5

Conclusão lógica a partir das observações e do exemplo:
  • A afirmação I é falsa como regra geral (apenas a componente tangencial de \mathbf{E} é necessariamente zero; a componente normal pode ser diferente de zero).
  • A afirmação II também é falsa como regra geral (apenas a componente normal de \mathbf{B} é necessariamente zero; a componente tangencial pode ser diferente de zero).
Portanto nenhuma das duas afirmações é verdade universalmente.

Resposta

b. Nenhuma alternativa é verdadeira.

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