Considere as seguintes sentenças sobre o comportamento de uma onda eletromagnética estacionária entre dois espelhos planos ideais e paralelos entre si:
I) O campo elétrico total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos;
II) O campo magnético total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos.
Escolha uma opção:
◯ a. Todas as alternativas são verdadeiras.
◯ b. Nenhuma alternativa é verdadeira.
◯ c. Apenas a alternativa ll é verdadeira.
◯ d. Apenas a alternativa I é verdadeira.
I) O campo elétrico total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos;
II) O campo magnético total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos.
◯ a. Todas as alternativas são verdadeiras.
◯ b. Nenhuma alternativa é verdadeira.
◯ c. Apenas a alternativa ll é verdadeira.
◯ d. Apenas a alternativa I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede que eu diga quais das duas afirmações sobre uma onda eletromagnética estacionária entre dois espelhos planos ideais e paralelos são verdadeiras:
I) O campo elétrico total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos;
II) O campo magnético total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos.
I) O campo elétrico total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos;
II) O campo magnético total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
- Os espelhos são condutores ideais (perfeito condutor).
- Há uma onda eletromagnética estacionária no intervalo entre os espelhos.
- A pergunta é sobre o valor dos campos (elétrico e magnético) “nas paredes condutoras dos espelhos” (isto é, no plano da superfície condutora).
Passo 2
Relembrando as condições de contorno gerais em uma interface condutor-vácuo (a teoria que vamos usar).
Primeiro, precisamos entender componentes normais e tangenciais de um campo num plano de superfície. Para um plano com normal unitário
:
- A componente tangencial de um vetor
é . - A componente normal é
.
As condições de contorno de Maxwell (forma útil aqui) na superfície de um condutor perfeito são:
- A componente tangencial do campo elétrico é nula na superfície:
Isso decorre do fato de que cargas livres na superfície se rearranjam de modo a anular qualquer campo elétrico tangencial (caso contrário haveria força tangencial e corrente infinita num condutor ideal). - A normal do campo elétrico pode ser diferente de zero na superfície; de fato pode existir uma descontinuidade relacionada à densidade superficial de carga
: Para condutor perfeito no regime em que o campo dentro é zero, isso permite . - Para o campo magnético, a condição que vem de
(sem monopolos magnéticos) é que a componente normal de seja contínua: Se dentro do condutor ideal o campo magnético for nulo (hipótese usual para condutor perfeito em regime estacionário de ondas internas), então ou seja, a componente normal de na superfície é zero. - Quanto à componente tangencial do campo magnético
(ou via ), existe a possibilidade de uma corrente superficial que gera uma descontinuidade: Para condutor perfeito pode haver corrente superficial ajustando-se para satisfazer as equações; portanto a componente tangencial de (via ) não precisa ser zero na superfície.
Resumo prático (para condutor perfeito, em linguagem direta):
-
na superfície (tangencial do elétrico = zero). -
na superfície (normal do magnético = zero). -
pode ser diferente de zero (depende de carga superficial). -
pode ser diferente de zero (depende de corrente superficial).
Passo 3
Aplicando essas condições ao enunciado:
A afirmação I diz que “o campo elétrico total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos.”
- Pela condição que encontramos, apenas a componente tangencial de
é necessariamente zero na superfície do condutor. A componente normal de pode ser não nula (ela é ligada à densidade superficial de cargas pela relação quando o campo dentro do condutor é zero). - Portanto a afirmação I, interpretada como “o vetor elétrico total
(todas as suas componentes) é identicamente zero na superfície”, é falsa em geral. Em certos modos particulares (por exemplo um modo em que é puramente tangencial e tem zero naquela posição) pode ocorrer que em pontos da superfície, mas isso não é uma regra geral exigida pelas condições de contorno. Logo I é incorreta como afirmação universal.
A afirmação II diz que “o campo magnético total é identicamente nulo nas paredes condutoras dos espelhos.”
- Da discussão, a componente normal de
é zero na superfície, mas a componente tangencial de em geral não é zero (pode haver correntes superficiais que mantêm o campo magnético tangencial não nulo). Portanto o vetor total não precisa ser zero na superfície — normalmente sua componente tangencial é diferente de zero. Assim II também é falsa como afirmação universal.
Passo 4
Para tornar mais concreto, construo um exemplo simples de onda estacionária entre dois espelhos paralelos no plano
e
. Considere uma polarização em que o campo elétrico aponta na direção
e a onda se propaga ao longo de
. Somando onda progressiva e regressiva obtém-se um campo estacionário:
A partir das relações de onda eletromagnética no vácuo (para ondas planas) a componente magnética associada (direção
) é, até constantes de fase,
Agora avalio os campos nas superfícies condutoras
e
:
- Em
: . Já , que em geral é não nulo. Ou seja, aqui o campo elétrico (neste modo) é zero na superfície, mas o magnético não é. - Em
: para que seja satisfeito precisamos que , isto é (condição padrão de ressonância). Mesmo assim, não necessariamente é zero (na verdade para temos , então é tipicamente não nulo).
Esse exemplo ilustra de forma clara que:
- a componente
é forçada a zero nas superfícies (aqui era tangencial e realmente nula nas paredes), mas não obriga ser zero em geral; - o campo magnético
geralmente tem componente tangencial não nula na superfície.
Passo 5
Conclusão lógica a partir das observações e do exemplo:
- A afirmação I é falsa como regra geral (apenas a componente tangencial de
é necessariamente zero; a componente normal pode ser diferente de zero). - A afirmação II também é falsa como regra geral (apenas a componente normal de
é necessariamente zero; a componente tangencial pode ser diferente de zero).
Portanto nenhuma das duas afirmações é verdade universalmente.
Resposta
b. Nenhuma alternativa é verdadeira.