Uma partícula se desloca no plano
, satisfazendo as seguintes funções:
(a) Determine e represente graficamente o vetor posição da partícula no instante
.
(b) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido no item anterior.
(c) Determine e represente graficamente o vetor aceleração da partícula em t=1s.
(d) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido no item anterior.
(b) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido no item anterior.
(c) Determine e represente graficamente o vetor aceleração da partícula em t=1s.
(d) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido no item anterior.
Passo 1
O enunciado dá as funções de posição da partícula no plano
(unidades SI):
As perguntas são:
(a) Determinar e representar graficamente o vetor posição da partícula no instante .
(b) Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido em (a).
(c) Determinar e representar graficamente o vetor aceleração da partícula em .
(d) Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido em (c).
(a) Determinar e representar graficamente o vetor posição da partícula no instante
(b) Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido em (a).
(c) Determinar e representar graficamente o vetor aceleração da partícula em
(d) Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido em (c).
Passo 2
Definição e cálculo do vetor posição geral. O vetor posição, em notação de componentes, é
onde
e
são os vetores unitários nas direções
e
, respectivamente. Substituindo
:
Portanto o vetor posição no instante pedido é
Como representar graficamente: desenhar um sistema de eixos
e
, marcar o ponto
e traçar uma seta do ponto origem
até
. A seta representa
; pode-se também desenhar os segmentos
na direção
e
na direção
formando um triângulo retângulo cujo vetor posição é a hipotenusa.
Passo 3
Cálculo do módulo, direção e sentido do vetor posição encontrado.
Fórmula do módulo (norma) de um vetor com componentes e
:
Fórmula do módulo (norma) de um vetor com componentes
Aplicando a
:
Direção: o ângulo
entre o vetor e o eixo
é dado por
No caso:
Interpretação do sentido: tanto
quanto
são positivos (
,
), logo o vetor aponta para o primeiro quadrante — isto é, sentido “nordeste”, saindo da origem em direção ao ponto
. O ângulo
é medido a partir do eixo
positivo no sentido anti-horário.
Passo 4
Encontrar o vetor aceleração. Definições e regra de derivação usadas:
- O vetor velocidade é
. - O vetor aceleração é
. - Regra prática (regra do poder):
. A derivada de constante é zero.
Calculemos componente a componente:
Logo
Derivando novamente para obter a aceleração:
Portanto o vetor aceleração é constante
Em particular, em
permanece
Representação gráfica: desenhar uma seta no ponto
(ou colocá-la originada na origem se preferir representação por vetor livre) apontando na direção positiva do eixo
com comprimento proporcional a
(unidades de aceleração).
Passo 5
Módulo, direção e sentido do vetor aceleração calculado.
Módulo:
Módulo:
Direção: o ângulo com o eixo
satisfaz
ou seja, exatamente na direção do eixo
positivo. Sentido: para o lado positivo do eixo
(direção “leste”/“direita”).
Resposta
(a)
(b) sentido: primeiro quadrante (para
).
(c)
(d) sentido: eixo
positivo.
(b)
(c)
(d)