Uma partícula se desloca no plano x y, satisfazendo as seguintes funções:
x(t)=5 t^{2}+3 t+1 \quad \text { e } \quad y(t)=4 \quad, \text { em unidades SI. }
(a) Determine e represente graficamente o vetor posição da partícula no instante \mathrm{t}=1 \mathrm{~s}.
(b) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido no item anterior.
(c) Determine e represente graficamente o vetor aceleração da partícula em t=1s.
(d) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido no item anterior.

Passo 1

O enunciado dá as funções de posição da partícula no plano xy (unidades SI):
x(t)=5t^{2}+3t+1,\qquad y(t)=4.
As perguntas são:
(a) Determinar e representar graficamente o vetor posição da partícula no instante t=1\\ \text{s}.
(b) Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido em (a).
(c) Determinar e representar graficamente o vetor aceleração da partícula em t=1\\ \text{s}.
(d) Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor obtido em (c).

Passo 2

Definição e cálculo do vetor posição geral. O vetor posição, em notação de componentes, é
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\hat{\mathbf{i}}+y(t)\,\hat{\mathbf{j}},
onde \hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{j}} são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Substituindo t=1\\ \text{s}:
x(1)=5\cdot1^{2}+3\cdot1+1=5+3+1=9,
y(1)=4\quad(\text{constante}).
Portanto o vetor posição no instante pedido é
\mathbf{r}(1)=9\,\hat{\mathbf{i}}+4\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\text{em metros}).
Como representar graficamente: desenhar um sistema de eixos x e y, marcar o ponto (9,4) e traçar uma seta do ponto origem (0,0) até (9,4). A seta representa \mathbf{r}(1); pode-se também desenhar os segmentos 9 na direção x e 4 na direção y formando um triângulo retângulo cujo vetor posição é a hipotenusa.

Passo 3

Cálculo do módulo, direção e sentido do vetor posição encontrado.
Fórmula do módulo (norma) de um vetor com componentes x e y:
\|\mathbf{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aplicando a \mathbf{r}(1)=(9,4):
\|\mathbf{r}(1)\|=\sqrt{9^{2}+4^{2}}=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}\approx9,85\\ \text{m}.
Direção: o ângulo \theta entre o vetor e o eixo x é dado por
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
No caso:
\theta=\arctan\!\left(\frac{4}{9}\right)\approx0,418\\ \text{rad}\approx23,96^\circ.
Interpretação do sentido: tanto x quanto y são positivos ( 9>0, 4>0), logo o vetor aponta para o primeiro quadrante — isto é, sentido “nordeste”, saindo da origem em direção ao ponto (9,4). O ângulo \theta é medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário.

Passo 4

Encontrar o vetor aceleração. Definições e regra de derivação usadas:
  • O vetor velocidade é \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}=\dfrac{dx}{dt}\,\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{dy}{dt}\,\hat{\mathbf{j}}.
  • O vetor aceleração é \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\,\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}\,\hat{\mathbf{j}}.
  • Regra prática (regra do poder): \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{\,n-1}. A derivada de constante é zero.
Calculemos componente a componente:
\frac{dx}{dt}= \frac{d}{dt}\bigl(5t^{2}+3t+1\bigr)=10t+3,
\frac{dy}{dt}= \frac{d}{dt}(4)=0.
Logo
\mathbf{v}(t)=(10t+3)\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}.
Derivando novamente para obter a aceleração:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}(10t+3)=10,
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}(0)=0.
Portanto o vetor aceleração é constante
\mathbf{a}(t)=10\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\text{em m/s}^{2}).
Em particular, em t=1\\ \text{s} permanece
\mathbf{a}(1)=10\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}.
Representação gráfica: desenhar uma seta no ponto (9,4) (ou colocá-la originada na origem se preferir representação por vetor livre) apontando na direção positiva do eixo x com comprimento proporcional a 10 (unidades de aceleração).

Passo 5

Módulo, direção e sentido do vetor aceleração calculado.
Módulo:
\|\mathbf{a}(1)\|=\sqrt{10^{2}+0^{2}}=\sqrt{100}=10\\ \text{m/s}^{2}.
Direção: o ângulo com o eixo x satisfaz
\theta_{a}=\arctan\!\left(\frac{0}{10}\right)=0\\ \text{rad}=0^\circ,
ou seja, exatamente na direção do eixo x positivo. Sentido: para o lado positivo do eixo x (direção “leste”/“direita”).

Resposta

(a) \mathbf{r}(1)=9\,\hat{\mathbf{i}}+4\,\hat{\mathbf{j}}\\ \text{m}
(b) \|\mathbf{r}(1)\|=\sqrt{97}\approx9,85\\ \text{m};\\ \theta=\arctan\!\left(\dfrac{4}{9}\right)\approx0,418\\ \text{rad}\approx23,96^\circ; sentido: primeiro quadrante (para x>0,y>0).
(c) \mathbf{a}(1)=10\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}\\ \text{m/s}^{2}
(d) \|\mathbf{a}(1)\|=10\\ \text{m/s}^{2};\\ \theta_{a}=0\\ \text{rad}=0^\circ; sentido: eixo x positivo.

Exercícios relacionados