Exercício 10

Halliday - P22.81: Existe na atmosfera um campo elétrico \vec{E}, dirigido verticalmente para baixo, cujo módulo é da ordem de 150 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Estamos interessados em fazer “flutuar” nesse campo uma esfera de enxofre com 4,4 \mathrm{~N} de peso carregando-a eletricamente. (a) Qual deve ser a carga da esfera (sinal e valor absoluto)? (b) Por que o experimento não pode ser realizado na prática?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Dados fornecidos:
    • Campo elétrico \vec{E} vertical, apontando para baixo, com módulo \,E=150\\ \mathrm{N/C}.
    • A esfera de enxofre tem peso (força peso) igual a 4,4\\ \mathrm{N}.
  • Perguntas do exercício:
    • (a) Qual deve ser a carga da esfera (sinal e valor absoluto) para que ela “flutue” no campo?
    • (b) Por que o experimento não pode ser realizado na prática?

Passo 2

Entendendo o equilíbrio de forças (a condição para a esfera flutuar).
  • Para a esfera ficar em equilíbrio (flutuar), a força elétrica vertical deve equilibrar exatamente o peso. Ou seja, as forças verticais somam zero.
  • A força elétrica sobre uma carga q num campo elétrico \vec{E} é dada por
\vec{F}_{\text{el}}=q\vec{E}.
Aqui \vec{E} é para baixo. A força peso tem módulo 4,4\\ \mathrm{N} e aponta para baixo também.
  • Para cancelar o peso (ou seja, obter uma força elétrica para cima de módulo 4,4\\ \mathrm{N}), a força elétrica deve ser apontada para cima. Como \vec{E} aponta para baixo, isso só ocorre se q for negativo (pois o produto q\vec{E} inverte o sentido quando q<0).
  • Logo, o sinal da carga deve ser negativo e a condição de equilíbrio de módulos é
|q|\,E = 4,4\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Cálculo do valor da carga (magnitude).
  • Isolando |q| na relação |q|E=4,4,
|q|=\frac{4,4}{150}\\ \mathrm{C}.
  • Fazendo a divisão (sem arredondar excessivamente):
|q|=\frac{44}{1500}=0{,}029333\ldots\\ \mathrm{C}\approx 2{,}93\times10^{-2}\\ \mathrm{C}.
  • Como vimos no passo anterior, o sinal deve ser negativo para que a força elétrica seja para cima. Portanto
q=-0{,}0293\\ \mathrm{C}\quad(\text{aproximadamente}).

Passo 4

Interpretação física do valor obtido (por que isso é grande).
  • A carga calculada |q|\approx2{,}93\times10^{-2}\\ \mathrm{C} corresponde a um número enorme de elétrons adicionados à esfera. Em termos do número de elétrons,
N=\frac{|q|}{e}\approx\frac{2{,}93\times10^{-2}}{1{,}602\times10^{-19}}\approx1{,}83\times10^{17}\\ \text{elétrons}.é
  • Isso já dá uma pista: é uma quantidade de carga muito maior do que as cargas estáticas que normalmente conseguirmos conter em pequenos objetos sem ocorrer descarga para o ar.

Passo 5

Por que, na prática, o experimento falha — argumento quantitativo usando ionização do ar.
  • Um problema fundamental é a ionização do ar: se o campo elétrico local na superfície da esfera exceder o campo de ruptura (breakdown) do ar, ocorrerá descarga (faísca, corona) e a carga se perde. Um valor típico do campo de ruptura do ar seco à pressão atmosférica é
E_{\text{ruptura}}\approx 3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
  • Mesmo que o campo externo ambiente seja só 150\\ \mathrm{N/C}, a carga da própria esfera cria um campo forte junto à superfície. Para uma esfera carregada isolada (aproximação razoável para estimar a ordem de grandeza), o módulo do campo elétrico imediatamente na superfície vale
E_{\text{superf}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{R^2}=k\frac{|q|}{R^2},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2} e R é o raio da esfera.
  • Para evitar ionização, seria necessário E_{\text{superf}}\le E_{\text{ruptura}}. Isolando R,
R\ge\sqrt{\frac{k|q|}{E_{\text{ruptura}}}}.
  • Substituindo k\approx8{,}99\times10^{9}, |q|=2{,}933\times10^{-2}\\ \mathrm{C} e E_{\text{ruptura}}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{N/C},
R\ge\sqrt{\frac{8{,}99\times10^{9}\times2{,}933\times10^{-2}}{3{,}0\times10^{6}}} =\sqrt{\frac{2{,}637\times10^{8}}{3{,}0\times10^{6}}} =\sqrt{87{,}9\ldots}\approx9{,}38\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão: para que a superfície da esfera não provoque ionização do ar com a carga necessária, a esfera teria de ter raio da ordem de 9\\ \mathrm{m} ou mais — isto é, um objeto gigantesco. Qualquer esfera de tamanho prático (centímetros, decímetros, poucos metros) teria E_{\text{superf}} muito maior que o limite de ruptura do ar e, portanto, a carga se descarregaria por faíscas/corona antes que a esfera pudesse flutuar.
  • Comentário extra prático: além da ionização, enxofre é um isolante; cargas em isolantes tendem a se distribuir de forma complicada e a escapar por umidade e impurezas da superfície. Pequenas correntes de fuga, ionização local e efeito corona tornariam impossível manter a carga necessária por tempo suficiente para flutuar.

Passo 6

Resumo final (curto e motivador)
  • Matematicamente a solução é simples: aplicar qE= \text{peso} e escolher o sinal para produzir força para cima. Fisicamente, o valor obtido é grande demais para ser mantido sem descarga, por isso o experimento não é viável na prática. Força e teoria juntas nos dão resposta e explicação — e você sobreviveu ao desespero! Vamos em frente, isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova.

Resposta

(a) \;q=-2{,}93\times10^{-2}\\ \mathrm{C}.
(b) Impraticável porque a carga exigida é muito grande: o campo elétrico na superfície da esfera excederia o limite de ruptura do ar, levando à descarga (faísca/corona); para evitar isso a esfera teria de ser absurdamente grande (raio \gtrsim9{,}4\\ \mathrm{m}).

Exercícios relacionados