Exercício 10
Halliday - P22.81: Existe na atmosfera um campo elétrico
, dirigido verticalmente para baixo, cujo módulo é da ordem de
. Estamos interessados em fazer “flutuar” nesse campo uma esfera de enxofre com
de peso carregando-a eletricamente. (a) Qual deve ser a carga da esfera (sinal e valor absoluto)? (b) Por que o experimento não pode ser realizado na prática?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Dados fornecidos:
- Campo elétrico
vertical, apontando para baixo, com módulo . - A esfera de enxofre tem peso (força peso) igual a
.
- Campo elétrico
- Perguntas do exercício:
- (a) Qual deve ser a carga da esfera (sinal e valor absoluto) para que ela “flutue” no campo?
- (b) Por que o experimento não pode ser realizado na prática?
Passo 2
Entendendo o equilíbrio de forças (a condição para a esfera flutuar).
- Para a esfera ficar em equilíbrio (flutuar), a força elétrica vertical deve equilibrar exatamente o peso. Ou seja, as forças verticais somam zero.
- A força elétrica sobre uma carga
num campo elétrico é dada por
Aqui
é para baixo. A força peso tem módulo
e aponta para baixo também.
- Para cancelar o peso (ou seja, obter uma força elétrica para cima de módulo
), a força elétrica deve ser apontada para cima. Como aponta para baixo, isso só ocorre se for negativo (pois o produto inverte o sentido quando ). - Logo, o sinal da carga deve ser negativo e a condição de equilíbrio de módulos é
Passo 3
Cálculo do valor da carga (magnitude).
- Isolando
na relação ,
- Fazendo a divisão (sem arredondar excessivamente):
- Como vimos no passo anterior, o sinal deve ser negativo para que a força elétrica seja para cima. Portanto
Passo 4
Interpretação física do valor obtido (por que isso é grande).
- A carga calculada
corresponde a um número enorme de elétrons adicionados à esfera. Em termos do número de elétrons,
- Isso já dá uma pista: é uma quantidade de carga muito maior do que as cargas estáticas que normalmente conseguirmos conter em pequenos objetos sem ocorrer descarga para o ar.
Passo 5
Por que, na prática, o experimento falha — argumento quantitativo usando ionização do ar.
- Um problema fundamental é a ionização do ar: se o campo elétrico local na superfície da esfera exceder o campo de ruptura (breakdown) do ar, ocorrerá descarga (faísca, corona) e a carga se perde. Um valor típico do campo de ruptura do ar seco à pressão atmosférica é
- Mesmo que o campo externo ambiente seja só
, a carga da própria esfera cria um campo forte junto à superfície. Para uma esfera carregada isolada (aproximação razoável para estimar a ordem de grandeza), o módulo do campo elétrico imediatamente na superfície vale
onde
e
é o raio da esfera.
- Para evitar ionização, seria necessário
. Isolando ,
- Substituindo
, e ,
- Conclusão: para que a superfície da esfera não provoque ionização do ar com a carga necessária, a esfera teria de ter raio da ordem de
ou mais — isto é, um objeto gigantesco. Qualquer esfera de tamanho prático (centímetros, decímetros, poucos metros) teria muito maior que o limite de ruptura do ar e, portanto, a carga se descarregaria por faíscas/corona antes que a esfera pudesse flutuar. - Comentário extra prático: além da ionização, enxofre é um isolante; cargas em isolantes tendem a se distribuir de forma complicada e a escapar por umidade e impurezas da superfície. Pequenas correntes de fuga, ionização local e efeito corona tornariam impossível manter a carga necessária por tempo suficiente para flutuar.
Passo 6
Resumo final (curto e motivador)
- Matematicamente a solução é simples: aplicar
e escolher o sinal para produzir força para cima. Fisicamente, o valor obtido é grande demais para ser mantido sem descarga, por isso o experimento não é viável na prática. Força e teoria juntas nos dão resposta e explicação — e você sobreviveu ao desespero! Vamos em frente, isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova.
Resposta
(a)
(b) Impraticável porque a carga exigida é muito grande: o campo elétrico na superfície da esfera excederia o limite de ruptura do ar, levando à descarga (faísca/corona); para evitar isso a esfera teria de ser absurdamente grande (raio ).
(b) Impraticável porque a carga exigida é muito grande: o campo elétrico na superfície da esfera excederia o limite de ruptura do ar, levando à descarga (faísca/corona); para evitar isso a esfera teria de ser absurdamente grande (raio