Os termos da sequência (
) estão relacionados pela fórmula
. Sabendo que
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a relação de recorrência e o primeiro termo da sequência. As informações relevantes são:
- A recorrência:
. - O primeiro termo:
.
O que é pedido: determinar.
Passo 2
Entendimento do que a recorrência significa (sem resolver ainda): a fórmula
diz que, para obter o termo seguinte, pegamos o termo atual
, multiplicamos por
e somamos
. Como temos
, podemos aplicar essa regra repetidas vezes para gerar
até
. Vou primeiro fazer isso passo a passo (método direto, simples e seguro para
pequeno) e depois mostro uma forma geral que ajuda a entender o padrão.
Passo 3
Aplicando a fórmula para obter
. Substituímos
em
:
Como
, temos
Passo 4
Agora calculamos
aplicando a mesma regra com
:
Como
,
Passo 5
Calculamos
usando
:
Com
,
Passo 6
Calculamos
usando
:
Com
,
Passo 7
Calculamos
usando
:
Com
,
Passo 8
Observação do padrão: os termos que encontramos são
Isso sugere a fórmula geral conjecturada
É útil conhecer essa forma geral para provas ou para calcular termos mais altos rapidamente.
Passo 9
Derivação da fórmula geral (método didático): queremos eliminar a constante
. Definimos
. Então
Assim
satisfaz a recorrência geométrica
, ou seja,
é uma progressão geométrica de razão
. Como
, temos
Voltando para
:
confirmando a fórmula conjecturada.
Passo 10
Verificação por indução rápida (opcional, para segurança): para
temos
. Supondo
, então
que é
. Logo a fórmula vale para todo
por indução.