Os termos da sequência ( a_{n} ) estão relacionados pela fórmula a_{n+1}=1+2 \cdot a_{n}. Sabendo que a_{1}=0, determine a_{6}.

Passo 1

O enunciado dá a relação de recorrência e o primeiro termo da sequência. As informações relevantes são:
  • A recorrência: a_{n+1}=1+2\cdot a_{n}.
  • O primeiro termo: a_{1}=0.
    O que é pedido: determinar a_{6}.

Passo 2

Entendimento do que a recorrência significa (sem resolver ainda): a fórmula a_{n+1}=1+2\cdot a_{n} diz que, para obter o termo seguinte, pegamos o termo atual a_{n}, multiplicamos por 2 e somamos 1. Como temos a_{1}, podemos aplicar essa regra repetidas vezes para gerar a_{2},a_{3},\dots até a_{6}. Vou primeiro fazer isso passo a passo (método direto, simples e seguro para n pequeno) e depois mostro uma forma geral que ajuda a entender o padrão.

Passo 3

Aplicando a fórmula para obter a_{2}. Substituímos n=1 em a_{n+1}=1+2\cdot a_{n}:
a_{2}=1+2\cdot a_{1}.
Como a_{1}=0, temos
a_{2}=1+2\cdot 0=1.

Passo 4

Agora calculamos a_{3} aplicando a mesma regra com n=2:
a_{3}=1+2\cdot a_{2}.
Como a_{2}=1,
a_{3}=1+2\cdot 1=1+2=3.

Passo 5

Calculamos a_{4} usando n=3:
a_{4}=1+2\cdot a_{3}.
Com a_{3}=3,
a_{4}=1+2\cdot 3=1+6=7.

Passo 6

Calculamos a_{5} usando n=4:
a_{5}=1+2\cdot a_{4}.
Com a_{4}=7,
a_{5}=1+2\cdot 7=1+14=15.

Passo 7

Calculamos a_{6} usando n=5:
a_{6}=1+2\cdot a_{5}.
Com a_{5}=15,
a_{6}=1+2\cdot 15=1+30=31.

Passo 8

Observação do padrão: os termos que encontramos são
a_{1}=0,\; a_{2}=1,\; a_{3}=3,\; a_{4}=7,\; a_{5}=15,\; a_{6}=31.
Isso sugere a fórmula geral conjecturada
a_{n}=2^{\,n-1}-1.
É útil conhecer essa forma geral para provas ou para calcular termos mais altos rapidamente.

Passo 9

Derivação da fórmula geral (método didático): queremos eliminar a constante +1. Definimos b_{n}=a_{n}+1. Então
b_{n+1}=a_{n+1}+1=(1+2\cdot a_{n})+1=2\cdot a_{n}+2=2(a_{n}+1)=2b_{n}.
Assim b_{n} satisfaz a recorrência geométrica b_{n+1}=2b_{n}, ou seja, b_{n} é uma progressão geométrica de razão 2. Como b_{1}=a_{1}+1=0+1=1, temos
b_{n}=1\cdot 2^{\,n-1}=2^{\,n-1}.
Voltando para a_{n}:
a_{n}=b_{n}-1=2^{\,n-1}-1,
confirmando a fórmula conjecturada.

Passo 10

Verificação por indução rápida (opcional, para segurança): para n=1 temos 2^{\,1-1}-1=2^{0}-1=1-1=0=a_{1}. Supondo a_{n}=2^{\,n-1}-1, então
a_{n+1}=1+2\cdot a_{n}=1+2(2^{\,n-1}-1)=1+2^{\,n}-2=2^{\,n}-1,
que é 2^{(n+1)-1}-1. Logo a fórmula vale para todo n por indução.

Resposta

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