Considere as seguintes séries:
I.
,
II.
,
III.
.
Escolha uma opção:
(a) Apenas a série II é convergente.
(b) Apenas as séries I e II são convergentes.
(c) Apenas as séries II e III são convergentes.
(d) Apenas a série III é convergente.
(e) Apenas a série I é convergente.
(f) Todas as séries são convergentes.
(g) Apenas as séries I e III são convergentes.
(h) Todas as séries são divergentes.
I.
II.
III.
(a) Apenas a série II é convergente.
(b) Apenas as séries I e II são convergentes.
(c) Apenas as séries II e III são convergentes.
(d) Apenas a série III é convergente.
(e) Apenas a série I é convergente.
(f) Todas as séries são convergentes.
(g) Apenas as séries I e III são convergentes.
(h) Todas as séries são divergentes.
Passo 1
O enunciado dá três séries e pede que eu escolha quais são convergentes:
I.
II.
III.
I.
II.
III.
Pergunta: quais dessas séries são convergentes? (escolher a alternativa correta entre as opções fornecidas).
Passo 2
Analisando a série I:
.
Primeiro, vamos entender uma ferramenta simples e muito útil: a comparação assintótica com uma série do tipo
-série. A
-série é
e sabe-se que ela converge se, e somente se,
. Aqui vamos comparar com
, pois olhando os graus no numerador e denominador, o termo geral da série I tem ordem aproximada
.
Uma forma rigorosa é usar comparação direta: para todo
temos
, portanto
Como
é convergente (
), pelo teste da comparação direta a série I também converge.
Alternativamente, pelo teste da comparação limite (limit comparison) com
, calculamos
um limite finito e positivo, confirmando que I e a
-série
têm o mesmo comportamento (ambas convergem). Conclusão: I é convergente.
Passo 3
Analisando a série II:
.
Aqui a ideia é que uma potência exponencial
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio
, então a série deve convergir. Vamos usar o teste da razão (d’Alembert), que diz: para
, se
existe e
, então
converge absolutamente.
Tomando
, calculamos
Agora o limite quando
:
Como
, pelo teste da razão a série II converge absolutamente (logo converge). Intuitivamente: o fator
vence o crescimento de
.
Passo 4
Analisando a série III:
.
Observação rápida pelo grau dos polinômios: o termo geral tem ordem aproximada
. Então a série se comporta como a série harmônica
, que diverge. Vamos fazer isso com o teste da comparação limite para ficar rigoroso.
Defina
e compare com
. Calcule
O limite é um número finito e positivo (
), portanto
e
têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Como
(série harmônica) diverge, segue que a série III também diverge.
Passo 5
Resumo do que foi achado:
- Série I: converge (comparação com
). - Série II: converge (teste da razão, limite da razão
). - Série III: diverge (comporta-se como a harmônica
).
Portanto as séries convergentes são apenas I e II.
Resposta
(b)