Considere as seguintes séries:
I. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+n^{2}+n+1},
II. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{5^{n}},
III. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+n+1}{n^{3}+n^{2}+n+1}.
Escolha uma opção:
(a) Apenas a série II é convergente.
(b) Apenas as séries I e II são convergentes.
(c) Apenas as séries II e III são convergentes.
(d) Apenas a série III é convergente.
(e) Apenas a série I é convergente.
(f) Todas as séries são convergentes.
(g) Apenas as séries I e III são convergentes.
(h) Todas as séries são divergentes.

Passo 1

O enunciado dá três séries e pede que eu escolha quais são convergentes:
I. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+n^{2}+n+1}
II. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{5^{n}}
III. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+n+1}{n^{3}+n^{2}+n+1}
Pergunta: quais dessas séries são convergentes? (escolher a alternativa correta entre as opções fornecidas).

Passo 2

Analisando a série I: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+n^{2}+n+1}.
Primeiro, vamos entender uma ferramenta simples e muito útil: a comparação assintótica com uma série do tipo p-série. A p-série é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}},
e sabe-se que ela converge se, e somente se, p>1. Aqui vamos comparar com p=2, pois olhando os graus no numerador e denominador, o termo geral da série I tem ordem aproximada n/n^{3}=1/n^{2}.
Uma forma rigorosa é usar comparação direta: para todo n\ge 1 temos n^{3}+n^{2}+n+1 \ge n^{3}, portanto
0 \le \frac{n}{n^{3}+n^{2}+n+1} \le \frac{n}{n^{3}} = \frac{1}{n^{2}}.
Como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é convergente ( p=2>1), pelo teste da comparação direta a série I também converge.
Alternativamente, pelo teste da comparação limite (limit comparison) com b_n=\frac{1}{n^{2}}, calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^{3}+n^{2}+n+1}}{\dfrac{1}{n^{2}}}= \lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+n^{2}+n+1}=1,
um limite finito e positivo, confirmando que I e a p-série \sum 1/n^{2} têm o mesmo comportamento (ambas convergem). Conclusão: I é convergente.

Passo 3

Analisando a série II: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{5^{n}}.
Aqui a ideia é que uma potência exponencial 5^{n} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio n^{k}, então a série deve convergir. Vamos usar o teste da razão (d’Alembert), que diz: para a_n>0, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existe e L<1, então \sum a_n converge absolutamente.
Tomando a_n=\dfrac{n^{3}}{5^{n}}, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{3}/5^{n+1}}{n^{3}/5^{n}}=\frac{(n+1)^{3}}{5\,n^{3}}.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{3}}{5\,n^{3}}=\frac{1}{5}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}=\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5}.
Como \frac{1}{5}<1, pelo teste da razão a série II converge absolutamente (logo converge). Intuitivamente: o fator 5^{-n} vence o crescimento de n^{3}.

Passo 4

Analisando a série III: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+n+1}{n^{3}+n^{2}+n+1}.
Observação rápida pelo grau dos polinômios: o termo geral tem ordem aproximada \dfrac{n^{2}}{n^{3}}=\dfrac{1}{n}. Então a série se comporta como a série harmônica \sum 1/n, que diverge. Vamos fazer isso com o teste da comparação limite para ficar rigoroso.
Defina a_n=\dfrac{n^{2}+n+1}{n^{3}+n^{2}+n+1} e compare com b_n=\dfrac{1}{n}. Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty} n\cdot\frac{n^{2}+n+1}{n^{3}+n^{2}+n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}+n^{2}+n}{n^{3}+n^{2}+n+1}=1.
O limite é um número finito e positivo ( =1), portanto a_n e b_n têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (série harmônica) diverge, segue que a série III também diverge.

Passo 5

Resumo do que foi achado:
  • Série I: converge (comparação com \sum 1/n^{2}).
  • Série II: converge (teste da razão, limite da razão =1/5<1).
  • Série III: diverge (comporta-se como a harmônica \sum 1/n).
Portanto as séries convergentes são apenas I e II.

Resposta

(b)

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