Considere as afirmações:
I.
é convergente.
II.
é absolutamente convergente.
III.
é condicionalmente convergente.
Temos que:
(a) Apenas I e II são verdadeiras.
(b) Apenas I e III são verdadeiras.
(c) Apenas III é verdadeira.
(d) Apenas II e III são verdadeiras.
(e) Apenas I é verdadeira.
(f) Apenas II é verdadeira.
(g) Todas as afirmações são falsas.
(h) Todas as afirmações são verdadeiras.
I.
II.
III.
(a) Apenas I e II são verdadeiras.
(b) Apenas I e III são verdadeiras.
(c) Apenas III é verdadeira.
(d) Apenas II e III são verdadeiras.
(e) Apenas I é verdadeira.
(f) Apenas II é verdadeira.
(g) Todas as afirmações são falsas.
(h) Todas as afirmações são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três séries e pede que identifiquemos quais das afirmações I, II e III são verdadeiras. As afirmações são:
I.
é convergente.
II.
é absolutamente convergente.
III.
é condicionalmente convergente.
Informações/restrições importantes dadas pelo enunciado:
- A série I contém
no denominador, então esse termo só está definido para tais que , isto é, para . Portanto, efetivamente a série deve ser considerada a partir de suficientemente grande (por exemplo ); suponhamos que a série está formulada corretamente nesse sentido. - As outras séries são bem definidas para
.
Objetivo: analisar convergência (e, quando pertinente, convergência absoluta vs. condicional) de cada série e decidir quais afirmações são verdadeiras.
Passo 2
Análise da afirmação I: verificar se
é convergente.
Primeiro passo útil: examinar o comportamento do termo geral. Se o termo geral não tende a zero, a série diverge imediatamente (teste da divergência). Considere
Para estudar o limite de
quando
faça a mudança
. Então
quando
e
Agora calcule
. Aplicando a regra de l’Hôpital (é a forma
):
Portanto
. Em particular
não tende a zero, tende a infinito. Conclusão: a série não converge (os termos nem sequer vão a zero), logo a afirmação I é falsa.
Comentário didático rápido: para uma série
convergir é necessário (mas não suficiente) que
. Aqui nem isso ocorre.
Passo 3
Análise da afirmação II: verificar se
é absolutamente convergente.
Definição lembrada: uma série
é absolutamente convergente se a série de termos positivos
converge.
Aqui os termos absolutos são
Vamos estudar a soma
. Faça a decomposição algébrica
onde a expressão
é válida também para
(pois
). Agora somamos:
Mude índices no primeiro somatório: para
tem-se
. O segundo somatório é
. Logo
Como a soma dos valores absolutos converge, a série original é absolutamente convergente. Conclusão: a afirmação II é verdadeira.
Comentário didático: essa técnica de decompor
é bem prática porque conecta com a série da exponencial
.
Passo 4
Análise da afirmação III: verificar se
é condicionalmente convergente.
Primeiro verificar a convergência absoluta: considerar
. Compare com uma p-série.
Observação simples: para todo
vale
portanto
Isto implica
Sabemos que a p-série
converge se
. Aqui
, logo
converge. Pelo teste da comparação — comparando termo a termo com uma série convergente maior — obtemos que
converge. Portanto a série original converge absolutamente (pois a série dos absolutos converge). Conclusão: a série não é condicionalmente convergente; é absolutamente convergente. Logo a afirmação III (que dizia ser condicionalmente convergente) é falsa.
Comentário didático: sempre que o termo geral é O
com expoente maior que 1, a série de termos positivos converge.
Passo 5
Resumo das conclusões:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é falsa (a série é absolutamente convergente, não condicionalmente).
Portanto, entre as alternativas dadas, a correta é a que diz que apenas II é verdadeira.
Resposta
(f) Apenas II é verdadeira.