Considere as afirmações:
I. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{\ln (\ln n)} é convergente.
II. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{n!} é absolutamente convergente.
III. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}} é condicionalmente convergente.
Temos que:
(a) Apenas I e II são verdadeiras.
(b) Apenas I e III são verdadeiras.
(c) Apenas III é verdadeira.
(d) Apenas II e III são verdadeiras.
(e) Apenas I é verdadeira.
(f) Apenas II é verdadeira.
(g) Todas as afirmações são falsas.
(h) Todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três séries e pede que identifiquemos quais das afirmações I, II e III são verdadeiras. As afirmações são:
I. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{\ln (\ln n)} é convergente.
II. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{n!} é absolutamente convergente.
III. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}} é condicionalmente convergente.
Informações/restrições importantes dadas pelo enunciado:
  • A série I contém \ln(\ln n) no denominador, então esse termo só está definido para n tais que \ln n>0, isto é, para n\ge 2. Portanto, efetivamente a série deve ser considerada a partir de n suficientemente grande (por exemplo n\ge 3); suponhamos que a série está formulada corretamente nesse sentido.
  • As outras séries são bem definidas para n\ge 1.
Objetivo: analisar convergência (e, quando pertinente, convergência absoluta vs. condicional) de cada série e decidir quais afirmações são verdadeiras.

Passo 2

Análise da afirmação I: verificar se \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{\ln(\ln n)} é convergente.
Primeiro passo útil: examinar o comportamento do termo geral. Se o termo geral não tende a zero, a série diverge imediatamente (teste da divergência). Considere
a_n=\frac{\ln n}{\ln(\ln n)}.
Para estudar o limite de a_n quando n\to\infty faça a mudança m=\ln n. Então m\to\infty quando n\to\infty e
a_n=\frac{m}{\ln m}.
Agora calcule \displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{m}{\ln m}. Aplicando a regra de l’Hôpital (é a forma \infty/\infty):
\lim_{m\to\infty}\frac{m}{\ln m} = \lim_{m\to\infty}\frac{1}{1/m} = \lim_{m\to\infty} m = \infty.
Portanto \lim_{n\to\infty} a_n = \infty. Em particular a_n não tende a zero, tende a infinito. Conclusão: a série não converge (os termos nem sequer vão a zero), logo a afirmação I é falsa.
Comentário didático rápido: para uma série \sum a_n convergir é necessário (mas não suficiente) que \lim_{n\to\infty} a_n=0. Aqui nem isso ocorre.

Passo 3

Análise da afirmação II: verificar se \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{n!} é absolutamente convergente.
Definição lembrada: uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge.
Aqui os termos absolutos são
|a_n|=\frac{n+1}{n!}.
Vamos estudar a soma \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{n!}. Faça a decomposição algébrica
\frac{n+1}{n!}=\frac{n}{n!}+\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!},
onde a expressão \frac{1}{(n-1)!} é válida também para n=1 (pois (1-1)!=0!=1). Agora somamos:
\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}.
Mude índices no primeiro somatório: para k=n-1 tem-se \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}=e. O segundo somatório é \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}=e-1. Logo
\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{n!}=e+(e-1)=2e-1<\infty.
Como a soma dos valores absolutos converge, a série original é absolutamente convergente. Conclusão: a afirmação II é verdadeira.
Comentário didático: essa técnica de decompor (n+1)/n! é bem prática porque conecta com a série da exponencial \sum 1/n!.

Passo 4

Análise da afirmação III: verificar se \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}} é condicionalmente convergente.
Primeiro verificar a convergência absoluta: considerar \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}}. Compare com uma p-série.
Observação simples: para todo n\ge 1 vale
n(n+1)(n+2)\ge n^3,
portanto
\sqrt{n(n+1)(n+2)}\ge n^{3/2}.
Isto implica
\frac{1}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}} \le \frac{1}{n^{3/2}}.
Sabemos que a p-série \sum \frac{1}{n^p} converge se p>1. Aqui p=\tfrac{3}{2}>1, logo \sum \frac{1}{n^{3/2}} converge. Pelo teste da comparação — comparando termo a termo com uma série convergente maior — obtemos que
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}}
converge. Portanto a série original converge absolutamente (pois a série dos absolutos converge). Conclusão: a série não é condicionalmente convergente; é absolutamente convergente. Logo a afirmação III (que dizia ser condicionalmente convergente) é falsa.
Comentário didático: sempre que o termo geral é O (1/n^{3/2}) com expoente maior que 1, a série de termos positivos converge.

Passo 5

Resumo das conclusões:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa (a série é absolutamente convergente, não condicionalmente).
Portanto, entre as alternativas dadas, a correta é a que diz que apenas II é verdadeira.

Resposta

(f) Apenas II é verdadeira.

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