Considere as séries:
I. \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, onde a_{1}=2 e a_{n+1}=\frac{\cos n}{1+n} a_{n},
II. \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, onde a_{1}=1 e a_{n+1}=\frac{e}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}} a_{n},
III. \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, onde a_{n}=\sin ^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).
Quais séries convergem?
(a) Apenas a série III é convergente.
(b) Apenas a série I é convergente.
(c) Apenas as séries I e III são convergentes.
(d) Todas as séries são convergentes.
(e) Apenas as séries I e II são convergentes.
(f) Apenas as séries II e III são convergentes.
(g) Nenhuma das séries I, II e III são convergentes.
Passo 1
O enunciado apresenta três séries e pergunta quais delas convergem. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede:
Série I: é dada por a_{1}=2 e pela recorrência
a_{n+1}=\frac{\cos n}{1+n}\,a_{n}.
Pergunta-se se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.
Pergunta-se se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.
Série III: é dada por
a_{n}=\sin^{n}\!\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).
Pergunta-se se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.
O objetivo é decidir, para cada uma das três séries, se converge ou diverge, e então escolher a alternativa correta.
Passo 2
Antes de começar a resolver, alguns conceitos úteis (explicados de forma direta):
Condição necessária para convergência: se \sum a_n converge, então a_n \to 0. Assim, se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou é infinito), a série diverge imediatamente.
pois uma sequência limitada dividida por algo que cresce para infinito tende a 0.
Aplicando o teste da razão: o limite L=0<1, portanto a série \sum a_n converge absolutamente. Comentário didático: quando a razão entre termos vai para zero, os termos caem muito rápido e a soma absoluta converge. Não é necessário encontrar uma forma fechada de a_n para concluir.
Agora examine o comportamento de a_n quando n\to\infty. O numerador cresce exponencialmente como e^{n}, enquanto o denominador é polinomial n^{2}. Portanto a_n\to\infty. Em particular \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0.
Pelo critério necessário de convergência, se os termos de uma série não tendem a zero, a série diverge. Logo, \sum a_n diverge. (De forma mais direta, já bastaria ver que os termos não vão a zero.)