Considere as séries:
I. \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, onde a_{1}=2 e a_{n+1}=\frac{\cos n}{1+n} a_{n},
II. \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, onde a_{1}=1 e a_{n+1}=\frac{e}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}} a_{n},
III. \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, onde a_{n}=\sin ^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).
Quais séries convergem?
(a) Apenas a série III é convergente.
(b) Apenas a série I é convergente.
(c) Apenas as séries I e III são convergentes.
(d) Todas as séries são convergentes.
(e) Apenas as séries I e II são convergentes.
(f) Apenas as séries II e III são convergentes.
(g) Nenhuma das séries I, II e III são convergentes.

Passo 1

O enunciado apresenta três séries e pergunta quais delas convergem. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede:
  • Série I: é dada por a_{1}=2 e pela recorrência
a_{n+1}=\frac{\cos n}{1+n}\,a_{n}.
Pergunta-se se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.
  • Série II: é dada por a_{1}=1 e pela recorrência
a_{n+1}=\frac{e}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}}\,a_{n}.
Pergunta-se se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.
  • Série III: é dada por
a_{n}=\sin^{n}\!\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).
Pergunta-se se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.
O objetivo é decidir, para cada uma das três séries, se converge ou diverge, e então escolher a alternativa correta.

Passo 2

Antes de começar a resolver, alguns conceitos úteis (explicados de forma direta):
  • Condição necessária para convergência: se \sum a_n converge, então a_n \to 0. Assim, se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou é infinito), a série diverge imediatamente.
  • Teste da razão (d’Alembert): se existe o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então
  • se L<1, a série converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
Esse teste é muito prático quando a razão entre termos tem expressão simples.
  • Teste da raiz (Cauchy): seja L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}. Então
    • se L<1, a série converge absolutamente;
    • se L>1, diverge;
    • se L=1, é inconclusivo.
O teste da raiz é ótimo quando os termos estão elevados a n, como em b_n^n.
Vou aplicar essas ideias a cada série, com explicações passo a passo.

Passo 3

Análise da Série I.
Dados: a_{1}=2 e a_{n+1}=\dfrac{\cos n}{1+n}\,a_{n}.
Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{|\cos n|}{1+n}.
Observações:
  • 0\le |\cos n|\le 1 para todo n.
  • O denominador 1+n\to\infty quando n\to\infty.
Logo,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|\cos n|}{1+n}=0,
pois uma sequência limitada dividida por algo que cresce para infinito tende a 0.
Aplicando o teste da razão: o limite L=0<1, portanto a série \sum a_n converge absolutamente. Comentário didático: quando a razão entre termos vai para zero, os termos caem muito rápido e a soma absoluta converge. Não é necessário encontrar uma forma fechada de a_n para concluir.

Passo 4

Análise da Série II.
Dados: a_{1}=1 e
a_{n+1}=\frac{e}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{2}}\,a_{n}.
Vamos escrever a_n em forma fechada pela recorrência multiplicativa. Note que
\left(\frac{k+1}{k}\right)^{2}=\frac{(k+1)^2}{k^2},
então, ao multiplicar os fatores da recorrência de k=1 até k=n-1,
a_n = a_1 \prod_{k=1}^{n-1}\frac{e}{\left(\dfrac{k+1}{k}\right)^{2}} = e^{\,n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\left(\dfrac{k+1}{k}\right)^{2}}.
Mas
\prod_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k+1}{k}\right)=\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{n}{n-1}=n,
portanto (elevar ao quadrado)
\prod_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k+1}{k}\right)^{2}=n^{2}.
Assim
a_n=\frac{e^{\,n-1}}{n^{2}}.
Agora examine o comportamento de a_n quando n\to\infty. O numerador cresce exponencialmente como e^{n}, enquanto o denominador é polinomial n^{2}. Portanto a_n\to\infty. Em particular \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0.
Pelo critério necessário de convergência, se os termos de uma série não tendem a zero, a série diverge. Logo, \sum a_n diverge. (De forma mais direta, já bastaria ver que os termos não vão a zero.)

Passo 5

Análise da Série III.
Dados: a_{n}=\sin^{n}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right).
Aqui é natural usar o teste da raiz, porque o termo está na forma b_n^{\,n} com b_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right). Calculemos a n-ésima raiz:
\sqrt[n]{|a_n|}=\left|\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right|.
Agora vemos o limite quando n\to\infty. Usamos que \sin x\sim x quando x\to 0. Como \dfrac{1}{\sqrt{n}}\to 0, temos
\lim_{n\to\infty}\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=0.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0<1.
Pelo teste da raiz, a série \sum a_n converge absolutamente.
Complemento intuitivo (opcional mas útil para a prova): para n grande, \sin(1/\sqrt{n})\approx 1/\sqrt{n}, então
a_n \approx \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n}=n^{-n/2},
que é uma quantidade superpequena (decai mais rápido que qualquer exponencial fixo), o que explica por que a soma converge.

Passo 6

Resultados obtidos em cada análise (sem repetir a letra da alternativa):
  • Série I: converge (convergência absoluta pelo teste da razão).
  • Série II: diverge (os termos não tendem a zero; a_n=\dfrac{e^{n-1}}{n^{2}}).
  • Série III: converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

Resposta

(c) Apenas as séries I e III são convergentes.

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