Encontre
para as séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a soma
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A série é somatória sobre
de até . - O termo geral é
. - Todos os denominadores são do tipo linear em
: e .
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais — ideia: escrever a razão racional como soma de frações simples para ver cancelamentos. Posso tentar
Multiplicando ambos os lados por
Isso é uma identidade polinomial em
, então os coeficientes devem coincidir. Agrupando termos em
e termos constantes:
Comparando coeficientes de
e do termo constante temos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Então
. Portanto a decomposição é
Passo 3
Agora usamos o efeito telescópico: somando os termos telescópicos muitos termos vão se cancelar. Considere a soma parcial até
,
Escrevendo os primeiros termos fica bem evidente o cancelamento:
Observe que
de
cancela com
de
,
de
cancela com
de
, e assim por diante. Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Portanto
Passo 4
Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite quando
. Note que
logo
Isso mostra que a série converge e sua soma é
. Um comentário rápido de verificação: os termos gerais decrescem como
, então é coerente que a soma seja finita.
Passo 5
Uma mini-aula/intuição final sobre telescópico (pra fixar): somas do tipo
são telescópicas também; os termos intermediários cancelam e sobra apenas
— resultado: soma igual a
. A técnica usada no problema foi exatamente essa, só que com funções lineares em
.