Encontre s=\sum a_{n} para as séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{(2 n+1)(2 n+3)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma
s=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{(2n+1)(2n+3)}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A série é somatória sobre n de 1 até \infty.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{4}{(2n+1)(2n+3)}.
  • Todos os denominadores são do tipo linear em n: 2n+1 e 2n+3.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais — ideia: escrever a razão racional como soma de frações simples para ver cancelamentos. Posso tentar
\frac{4}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}.
Multiplicando ambos os lados por (2n+1)(2n+3)\) obtemos \[4 = A(2n+3)+B(2n+1).
Isso é uma identidade polinomial em n, então os coeficientes devem coincidir. Agrupando termos em n e termos constantes:
4 = (2A+2B)n + (3A + B).
Comparando coeficientes de n e do termo constante temos o sistema
\begin{cases} 2A+2B=0,\\[4pt] 3A+B=4. \end{cases}
Da primeira equação vem A+B=0\], então \(B=-A. Substituindo na segunda:
3A + (-A) = 4 \quad\Rightarrow\quad 2A=4 \quad\Rightarrow\quad A=2.
Então B=-2. Portanto a decomposição é
\frac{4}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{2}{2n+1}-\frac{2}{2n+3}.]

Passo 3

Agora usamos o efeito telescópico: somando os termos telescópicos muitos termos vão se cancelar. Considere a soma parcial até N,
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{2}{2n+1}-\frac{2}{2n+3}\right).
Escrevendo os primeiros termos fica bem evidente o cancelamento:
\begin{aligned} n=1:&\quad \frac{2}{3}-\frac{2}{5},\\\ n=2:&\quad \frac{2}{5}-\frac{2}{7},\\\ n=3:&\quad \frac{2}{7}-\frac{2}{9},\\\ &\quad\vdots\\\ n=N:&\quad \frac{2}{2N+1}-\frac{2}{2N+3}. \end{aligned}
Observe que -\frac{2}{5} de n=1 cancela com +\frac{2}{5} de n=2, -\frac{2}{7} de n=2 cancela com +\frac{2}{7} de n=3, e assim por diante. Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Portanto
S_N=\frac{2}{3}-\frac{2}{2N+3}.

Passo 4

Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite quando N\to\infty. Note que
\lim_{N\to\infty}\frac{2}{2N+3}=0,
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s=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{2}{3}-0=\frac{2}{3}.
Isso mostra que a série converge e sua soma é \dfrac{2}{3}. Um comentário rápido de verificação: os termos gerais decrescem como O(1/n^2), então é coerente que a soma seja finita.

Passo 5

Uma mini-aula/intuição final sobre telescópico (pra fixar): somas do tipo
\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
são telescópicas também; os termos intermediários cancelam e sobra apenas 1 — resultado: soma igual a 1. A técnica usada no problema foi exatamente essa, só que com funções lineares em n.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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