Considere as seguintes séries
Assinale a alternativa correta.
A. (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
B. (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
C. Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D. (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
E. (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
A. (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
B. (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
C. Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D. (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
E. (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência das três séries dadas, usando conteúdos de séries numéricas, teste de comparação assintótico e comportamento de funções para argumentos pequenos (como expansão de cosseno).
Passo 2
Para a série (i) computemos o termo geral assintoticamente. Temos
Como
gera a série harmônica que diverge, a série (i) diverge.
Passo 3
Na série (ii) note que
para
grande, e também
. Assim o termo geral se comporta como
Séries do tipo
(com
) convergem, logo (ii) converge.
Passo 4
Na série (iii) usamos de novo
e
Então o termo geral é aproximadamente
e
diverge (pois
). Portanto (iii) diverge.
Resposta
D