Considere as seguintes séries
l (i) sumn=3^infty raiznraizn^3 - 4n^2 + 5n - 2 , (ii) sumn=3^infty raizn^3 - 4n^2 + 5n - 2 ( 1 - cos( 1n^2 ) ) (iii) sumn=3^infty raizn^3 - 4n^2 + 5n - 2 raiz1 - cos( 1n^2 )
Assinale a alternativa correta.
A. (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
B. (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
C. Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D. (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
E. (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência das três séries dadas, usando conteúdos de séries numéricas, teste de comparação assintótico e comportamento de funções para argumentos pequenos (como expansão de cosseno).

Passo 2

Para a série (i) computemos o termo geral assintoticamente. Temos
raiznraizn^3 - 4n^2 + 5n - 2 = raiznn^3/2raiz1 - 4/n + dots sim raiznn^3/2 = 1n
Como 1/n gera a série harmônica que diverge, a série (i) diverge.

Passo 3

Na série (ii) note que
1 - cosl(1/n^2r) sim (1/n^2)^22 = 12n^4
para n grande, e também raizn^3 - 4n^2 + 5n - 2sim n^3/2. Assim o termo geral se comporta como
n^3/2 cdot 12n^4 = 12n^-5/2
Séries do tipo sum n^-5/2 (com p=5/2>1) convergem, logo (ii) converge.

Passo 4

Na série (iii) usamos de novo raizn^3 - 4n^2 +5n -2sim n^3/2 e
raiz1 - cos(1/n^2) sim raiz12n^4 = 1raiz2,n^2
Então o termo geral é aproximadamente
n^3/2 cdot 1raiz2,n^2 = 1raiz2,n^-1/2,
e sum n^-1/2 diverge (pois p=1/2<=1). Portanto (iii) diverge.

Resposta

D

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