Questão 1. Dada a sequência (an) definida por an=(1+n) ln (1+n)-n ln (n), qual é o valor de lim n infty an ?
E Esta sequência diverge para -infty.

Passo 1

O enunciado define a sequência an = (n+1)ln(n+1) - nln n e pergunta qual é limntoinfty an. O tema aqui é limites de sequências envolvendo logaritmos, então vamos usar propriedades de log e limites clássicos.

Passo 2

Para reescrever an de forma mais manejável, observamos que
an = lnl((n+1)^n+1r) - lnl(n^nr) = ln((n+1)^n+1n^n)

Passo 3

Em seguida, fatoramos a expressão dentro do logaritmo:
(n+1)^n+1n^n = (n+1) (n+1n)^n,
logo
an = ln(n+1) + n,ln!(1 + 1n)

Passo 4

Agora analisamos o limite de cada parcela separadamente. Primeiro, limntoinfty ln(n+1) = +infty. Depois, usamos o limite clássico
limntoinfty nln!(1 + 1n) = 1,
pois para x pequeno vale ln(1+x) sim x.

Passo 5

Como um dos termos ( ln(n+1)) cresce sem limite, a soma também diverge para +infty. Portanto
-infty
e a afirmação de que a sequência diverge para é falsa.

Resposta

O limite é +infty. A sequência diverge para +infty, logo não diverge para -infty.

Exercícios relacionados