Prove, por indução sobre
, que
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar, usando indução matemática, que o número 3 divide sempre $ n^3 + 2n $ para todo número natural $ n $. Isso envolve entender o que é divisão exata e como funciona a indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a base da indução. Isso significa verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural, que geralmente é $ n = 1 $.
Calculando $ n^3 + 2n $ quando $ n = 1 $:
Agora, vamos ver se 3 divide 3:
Como o resultado é um número inteiro, 3 realmente divide 3. Então, a base da nossa indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos para o passo da indução. Aqui, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número natural $ k $. Ou seja, assumimos que 3 divide $ k^3 + 2k $. Essa é a nossa hipótese de indução:
O que precisamos provar é que, se isso é verdade para $ k $, então também será verdade para $ k + 1 $. Ou seja, 3 deve dividir $ (k + 1)^3 + 2(k + 1) $.
Passo 4
Vamos expandir $ (k + 1)^3 + 2(k + 1) $:
Somando as duas expressões:
Podemos reescrever isso como:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que $ 3 \mid (k^3 + 2k) $, ou seja, $ k^3 + 2k $ é múltiplo de 3. Além disso, os termos $ 3k^2 $, $ 3k $ e 3 são claramente múltiplos de 3.
Passo 5
Como todos os termos na expressão $ (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 $ são múltiplos de 3, a soma deles também será múltiplo de 3. Portanto, 3 divide $ (k + 1)^3 + 2(k + 1) $.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que 3 divide $ n^3 + 2n $ para todo número natural $ n $.