Prove, por indução sobre n, que 3 mid(n^3+2 n), para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar, usando indução matemática, que o número 3 divide sempre $ n^3 + 2n $ para todo número natural $ n $. Isso envolve entender o que é divisão exata e como funciona a indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a base da indução. Isso significa verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural, que geralmente é $ n = 1 $.
Calculando $ n^3 + 2n $ quando $ n = 1 $:
n = 1
Agora, vamos ver se 3 divide 3:
n^3 + 2n
Como o resultado é um número inteiro, 3 realmente divide 3. Então, a base da nossa indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos para o passo da indução. Aqui, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número natural $ k $. Ou seja, assumimos que 3 divide $ k^3 + 2k $. Essa é a nossa hipótese de indução:
k
O que precisamos provar é que, se isso é verdade para $ k $, então também será verdade para $ k + 1 $. Ou seja, 3 deve dividir $ (k + 1)^3 + 2(k + 1) $.

Passo 4

Vamos expandir $ (k + 1)^3 + 2(k + 1) $:
(k + 1)^3 + 2(k + 1)
(k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
Somando as duas expressões:
2(k + 1) = 2k + 2
Podemos reescrever isso como:
k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2 = k^3 + 3k^2 + 5k + 3
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que $ 3 \mid (k^3 + 2k) $, ou seja, $ k^3 + 2k $ é múltiplo de 3. Além disso, os termos $ 3k^2 $, $ 3k $ e 3 são claramente múltiplos de 3.

Passo 5

Como todos os termos na expressão $ (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 $ são múltiplos de 3, a soma deles também será múltiplo de 3. Portanto, 3 divide $ (k + 1)^3 + 2(k + 1) $.

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que 3 divide $ n^3 + 2n $ para todo número natural $ n $.

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