Considere as seguintes séries:
(i)
,
(ii)
,
(iii)
.
Assinale a alternativa correta.
A (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
(i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
E (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
(i)
(ii)
(iii)
Assinale a alternativa correta.
A (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
(i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
E (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três séries infinitas para analisar e ver quais convergem ou não. O conteúdo aqui é sobre séries e critérios de convergência. Vamos precisar lembrar de algumas aproximações de funções trigonométricas e comparar com séries conhecidas para decidir se cada uma dessas séries dá certo (converge) ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série (i):
.
Quando
é bem grande,
fica bem pequeno. Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Então,
.
A série
é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge. Como
se comporta aproximadamente como
para
grande, a série (i) também diverge.
Passo 3
Agora, vamos para a série (ii):
.
Para
grande,
é pequeno, e sabemos que
quando
é pequeno. Então,
.
A série
é uma série p com
, que converge. Então, nossa série (ii) também converge.
Passo 4
Por fim, vamos analisar a série (iii):
.
Usando a mesma aproximação de antes,
. Então, a raiz fica:
Isso nos lembra da série
, que sabemos que diverge. Portanto, a série (iii) também diverge.
Resposta
A alternativa correta é a D: (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.