Considere as seguintes séries:
(i) sumn=1^infty sin (1n),
(ii) sumn=1^infty(1-cos (1n)),
(iii) sumn=1^infty raiz1-cos (1n).
Assinale a alternativa correta.
A (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
(i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
E (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três séries infinitas para analisar e ver quais convergem ou não. O conteúdo aqui é sobre séries e critérios de convergência. Vamos precisar lembrar de algumas aproximações de funções trigonométricas e comparar com séries conhecidas para decidir se cada uma dessas séries dá certo (converge) ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série (i): sumn=1^infty sin (1n).
Quando n é bem grande, 1n fica bem pequeno. Sabemos que, para valores pequenos de x, sin(x) approx x. Então, sin (1n) approx 1n.
A série sumn=1^infty 1n é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge. Como sin (1n) se comporta aproximadamente como 1n para n grande, a série (i) também diverge.

Passo 3

Agora, vamos para a série (ii): sumn=1^infty(1 - cos (1n)).
Para n grande, 1n é pequeno, e sabemos que 1 - cos(x) approx x^22 quando x é pequeno. Então, 1 - cos (1n) approx 12n^2.
A série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2, que converge. Então, nossa série (ii) também converge.

Passo 4

Por fim, vamos analisar a série (iii): sumn=1^infty raiz1 - cos (1n).
Usando a mesma aproximação de antes, 1 - cos (1n) approx 12n^2. Então, a raiz fica:
raiz1 - cos (1n) approx raiz12n^2 = 1raiz2,n
Isso nos lembra da série sumn=1^infty 1n, que sabemos que diverge. Portanto, a série (iii) também diverge.

Resposta

A alternativa correta é a D: (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.

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